קיץ 2024 · מועד א

בסיס $n=1$:

אגף שמאל: $\dfrac{5+3}{2}=4$

אגף ימין: $\dfrac{1\cdot2\cdot12}{6}=4$ ✓

הנחה עבור $n=k$:

צעד עבור $n=k+1$. האיבר שמקומו $k+1$:

מוסיפים אותו לאגף ימין של ההנחה:

מכנה משותף: $\dfrac{k(k+1)(5k+7)+3\left(5k^2+13k+8\right)}{6}$

פותחים סוגריים: $\dfrac{5k^3+12k^2+7k+15k^2+39k+24}{6}$

מכנסים: $\dfrac{5k^3+27k^2+46k+24}{6}$

אגף ימין עבור $n=k+1$: $\dfrac{(k+1)(k+2)(5k+12)}{6}$

פותחים סוגריים: $\dfrac{5k^3+27k^2+46k+24}{6}$, אותו ביטוי ✓

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

$f''$ היא הנגזרת של $f'$, ולכן $f'$ עולה כאשר $f''>0$ ויורדת כאשר $f''<0$.

טבלת הסימנים (הסימן של $f''$ נקרא מהתצלום, מעל הציר או מתחתיו):

החצים בטבלה הם העלייה והירידה של $f'$.

עלייה של $f'$: $x<a$, וגם $b<x<d$.

ירידה של $f'$: $a<x<0$, $0<x<b$, וגם $x>d$.

$h'(x)=f''(x)-e$, ולכן גרף $h'$ הוא גרף $f''$ מוזז $e$ יחידות כלפי מטה (נתון $e>0$, כי $(c,e)$ מעל הציר).

המקסימום $(c,e)$ של $f''$ עובר לנקודה $(c,0)$: גרף $h'$ משיק לציר $x$ ואינו חוצה אותו.

בתחום $x<0$ הענף של $f''$ יורד מאינסוף חיובי עד אינסוף שלילי, ולכן הוא חותך את הישר $y=e$ בנקודה אחת בלבד. נסמנה $x_1$ (משמאל לנקודה $a$, כי שם $f''>0$).

טבלת הסימנים של $h'$:

בנקודה $x_1$ הסימן עובר מחיובי לשלילי, ולכן שם מקסימום. בנקודה $x=c$ הנגזרת מתאפסת בלי להחליף סימן, ולכן שם נקודת פיתול.

לפונקציה $h$ יש נקודת קיצון אחת (מקסימום בנקודה $x_1<a$) ונקודת פיתול אחת (בנקודה $x=c$).

שלב א: $f(x)+m$ הוא גרף $f$ מוזז $m$ יחידות כלפי מעלה, ולכן המינימום שלו הוא $(0,\,-3+m)$.

נתון $0<m<2$, ולכן $-3+m<0$: המינימום נשאר מתחת לציר $x$, ולגרף יש שתי נקודות אפס.

שלב ב: הערך המוחלט משקף כלפי מעלה את החלק שמתחת לציר, ולכן נקודת המינימום השלילית הופכת לנקודת מקסימום עם שיעור $y$ נגדי.

נקודת המקסימום של $g$: $\left(0,\;3-m\right)$.

שלב א: $\left|f(x)\right|$ משקף כלפי מעלה את החלק של $f$ שמתחת לציר.

המינימום $(0,-3)$ הופך למקסימום $(0,3)$, ונקודות האפס $(\pm5,0)$ הופכות לנקודות מינימום (שם הגרף "מתקפל").

שלב ב: הוספת $m$ מזיזה את הגרף $m$ יחידות כלפי מעלה, ושיעורי $x$ אינם משתנים.

נקודת מקסימום: $(0,\;3+m)$.

נקודות מינימום: $(5,\;m)$, וגם $(-5,\;m)$.

טענה I. $h(x)=\left|f(x)\right|+m\ge m>0$, ולכן $h$ חיובית לכל $x$.

לפונקציה $g$ יש שתי נקודות אפס, שבהן $f(x)=-m$ (אפשרי, כי המינימום של $f$ הוא $-3<-m$). בנקודות האלה $g(x)=0$, ולכן $g$ אינה חיובית לכל $x$.

הטענה מדברת על שתי הפונקציות, ולכן היא אינה נכונה.

טענה II. שתי הפונקציות בנויות כמו האות W: שני מינימומים ומקסימום מקומי ביניהם. ישר אופקי חותך W בשלוש נקודות בדיוק רק כשהוא עובר דרך המקסימום המקומי.

עבור $h$ המקסימום הוא $3+m$, והישר הוא $y=m+\dfrac12$.

למשוואה $m+\dfrac12=3+m$ אין פתרון, ולכן הישר תמיד מתחת למקסימום וחותך את $h$ בארבע נקודות, אף פעם לא בשלוש.

הטענה אינה נכונה.

(עבור $g$ המקסימום הוא $3-m$, והמשוואה $m+\dfrac12=3-m$ נותנת רק $m=1.25$, כלומר ערך יחיד ולא "לכל $m$".)

$AD$ קוטר במעגל, ולכן $\angle ACD=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

נתון $FB \perp FA$, ולכן $\angle AFB=90^\circ$.

מכאן: $\angle ACD=\angle AFB$.

$ABCD$ בר-חסימה במעגל, ולכן $\angle ADC+\angle ABC=180^\circ$ (זוויות נגדיות במרובע חסום).

$F$ על המשך $CB$, ולכן $\angle ABC+\angle ABF=180^\circ$ (זוויות צמודות).

משני השוויונות: $\angle ADC=\angle ABF$.

שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש האחר, ולכן $\triangle ACD \sim \triangle AFB$ (משפט דמיון ז.ז). מש״ל

נסרטט לפי הנתונים, עם הקטע $BD$:

$AD$ קוטר במעגל, ולכן $\angle ABD=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

במשולש $ABD$: $\sin24^\circ=\dfrac{AB}{AD}$

ולכן: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{\sin24^\circ}$

מהדמיון בסעיף (1) הצלעות $AD$, $AB$ מתאימות, ולכן יחס הדמיון הוא $\dfrac{AD}{AB}$.

במשולשים דומים יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: