קיץ 2024 · מועד א

$A$ הנדסית עם $a_1=1$, ולכן $a_n=q^{\,n-1}$.

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{q^{\,2n+2}}{q^{\,2n}}=q^2$

זו מנה קבועה, שאינה תלויה בערך של $n$.

לכן $B$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q^2$. מש״ל

I. נתון $-1<q<0$: המנה שלילית, ולכן איברי $A$ מחליפים סימן לסירוגין: $1,\;q,\;q^2,\;q^3,\ldots$

סדרה שאיבריה מחליפים סימן אינה עולה ואינה יורדת, ולכן הטענה נכונה.

II. $b_n=q^{\,2n}$: כל האיברים חיוביים, והמנה מקיימת $0<q^2<1$.

כפל של מספר חיובי בשבר שבין $0$ לבין $1$ מקטין אותו, ולכן $B$ יורדת והטענה אינה נכונה.

III. האיברים במקומות הזוגיים: $a_2,a_4,a_6,\ldots=q,\;q^3,\;q^5,\ldots$

זו סדרה הנדסית שמנתה $q^2$.

כל איבריה שליליים (חזקה אי-זוגית של $q<0$), וכפל של מספר שלילי בשבר שבין $0$ לבין $1$ מקרב אותו לאפס, ולכן הסדרה עולה והטענה נכונה.

$B$ הנדסית אין-סופית שמנתה $q^2$, וגם $0<q^2<1$, ולכן יש לה סכום:

$S=\dfrac{b_1}{1-q^2}$

$b_1=a_1\cdot a_3=1\cdot q^2=q^2$

משוואת הסכום: $\dfrac{q^2}{1-q^2}=\dfrac18$

כופלים במכנים: $8q^2=1-q^2$

מכאן $9q^2=1$, כלומר $q^2=\dfrac19$

$q=\pm\dfrac13$

נתון $-1<q<0$, ולכן הפתרון החיובי נפסל:

$q=-\dfrac13$

$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{q^{\,n+1}}{q^{\,n+2}}=\dfrac1q=-3$, ולכן $C$ הנדסית שמנתה $-3$.

בסכום $c_3+c_4+\ldots+c_m$ יש $m-2$ איברים, והראשון הוא $81$:

מבודדים את החזקה: $(-3)^{\,m-2}-1=\dfrac{44{,}307\cdot(-4)}{81}=-2188$

מכאן: $(-3)^{\,m-2}=-2187=(-3)^7$

$m-2=7$, ולכן $m=9$.