קיץ 2023 · מועד מיוחד

$\ln x$ מוגדר $\;\Rightarrow\; x>0$

המכנה $\ln x \ne 0 \;\Rightarrow\; x \ne 1$

שני התנאים יחד: $\;x>0$ וגם $x\ne 1$

אנכית: המכנה $\ln x = 0$ ב-$x=1$, והמונה שם $1-\ln 1 = 1\ne 0$

לכן יש אסימפטוטה אנכית $\;x=1$

נכתוב $\;f(x)=\dfrac{1-\ln x}{\ln x}=\dfrac{1}{\ln x}-1$

כאשר $x\to\infty$: $\;\ln x\to\infty$, אז $\dfrac{1}{\ln x}\to 0$ ו-$f(x)\to -1$

כאשר $x\to0^+$: $\;\ln x\to -\infty$, אז $\dfrac{1}{\ln x}\to 0$ ו-$f(x)\to -1$

לכן יש אסימפטוטה אופקית $\;y=-1$

בתחום ההגדרה: $\;x>0$ ו-$\ln^2 x>0$, לכן $\;x\,\ln^2 x>0$

$f'(x) = -\dfrac{1}{x\,\ln^2 x} < 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה

$f'(x)\ne 0$ לעולם, ולכן אין נקודות קיצון, והפונקציה יורדת בכל ענף

חיתוך עם ציר $x$: $\;f(x)=0 \Rightarrow 1-\ln x=0$

מתקבלת הנקודה $(e,0)$

ענף $0<x<1$: $\;\ln x<0$, הפונקציה מתחת ל-$y=-1$, יורדת מ-$y\to-1$ (ב-$x\to0^+$) עד $-\infty$ (ב-$x\to1^-$)

ענף $x>1$: יורדת מ-$+\infty$ (ב-$x\to1^+$) דרך $(e,0)$ ומתקרבת ל-$y=-1$ (ב-$x\to\infty$)

תנאי: $\;-f(x)>0 \Rightarrow f(x)<0$

המונה $1-\ln x$: חיובי ל-$x<e$, שלילי ל-$x>e$

המכנה $\ln x$: שלילי ל-$0<x<1$, חיובי ל-$x>1$

המנה שלילית כאשר למונה ולמכנה סימנים מנוגדים:

מקרה 1: $\;0<x<1$ (מונה $+$, מכנה $-$) — ולכן מתאים

מקרה 2: $\;x>e$ (מונה $-$, מכנה $+$) — ולכן מתאים

כאשר $x\to1^-$: $\;f(x)\to-\infty$, אז $-f(x)\to+\infty$ ו-$g\to+\infty$, ולכן אסימפטוטה אנכית $x=1$

כאשר $x\to e^+$: $\;f(x)\to0^-$, אז $-f(x)\to0^+$ ו-$g\to-\infty$, ולכן אסימפטוטה אנכית $x=e$

כאשר $x\to\infty$: $\;f(x)\to-1$, אז $-f(x)\to1$ ו-$g\to\ln 1=0$, ולכן אסימפטוטה אופקית $y=0$

(גם כאשר $x\to0^+$: $\;f\to-1$, $\,-f\to1$, $\,g\to0$ — הגרף מתקרב ל-$y=0$)

$g>0$ כלומר $-f(x)>1$

$-f(x)>1$ כלומר $f(x)<-1$

$f(x)<-1$ כלומר $\dfrac{1}{\ln x}-1<-1$

$\dfrac{1}{\ln x}-1<-1$ כלומר $\dfrac{1}{\ln x}<0$

$\dfrac{1}{\ln x}<0$ כלומר $0<x<1$

בענף $(0,1)$: $\;g(x)>0$

$g<0$ כלומר $0<-f(x)<1$

$0<-f(x)<1$ כלומר $-1<f(x)<0$, וזה מתקיים בענף $x>e$

בענף $(e,\infty)$: $\;g(x)<0$

ענף $(0,1)$: $\;g>0$, עולה מ-$g\to0$ (ב-$x\to0^+$) עד $+\infty$ (ב-$x\to1^-$)

ענף $(e,\infty)$: $\;g<0$, עולה מ-$-\infty$ (ב-$x\to e^+$) ומתקרב ל-$y=0$ (ב-$x\to\infty$)

בין $x=1$ ל-$x=e$ הפונקציה אינה מוגדרת

נקודת החיתוך $a$ היא בתחום $x>e$; מימין לה $\;g(x)>f(x)$

לכן $\;g(x)-f(x)>0$

אז שני האינטגרלים $\text{I}$ ו-$\text{II}$ חיוביים

אסימפטוטות: $\;f(x)\to-1$ ו-$g(x)\to0$ כאשר $x\to\infty$

לכן ההפרש $\;g(x)-f(x)\to 0-(-1)=1$ כאשר $x\to\infty$, וההפרש עולה ומתקרב ל-$1$ אך תמיד $g(x)-f(x)<1$

הקטעים $[a+1,a+2]$ ו-$[a+3,a+4]$ ברוחב $1$ כל אחד; הקטע של $\text{II}$ ימינה יותר, שם ההפרש גדול יותר

בכל קטע $g-f<1$ והרוחב $1$, ולכן כל אינטגרל קטן מ-$1$: $\;\text{I}<1$ וגם $\text{II}<1$

מכאן הסדר: $\;\text{I}<\text{II}<1=\text{III}$