קיץ 2023 · מועד מיוחד

מרחק מ-$(x,y)$ אל $\ell_1$: $\;\dfrac{|-3x+4y-20|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}} = \dfrac{|-3x+4y-20|}{5}$

מרחק מ-$(x,y)$ אל $\ell_2$ ($x=-4$): $\;|x+4|$

משווים: $\;|x+4| = \dfrac{|-3x+4y-20|}{5}$

מקרה 1: $\;5(x+4) = -3x+4y-20$

מקרה 2: $\;-5(x+4) = -3x+4y-20$

נמצא את $A$ (על $\ell_1$, $x=4$): $\;4y - 3\cdot4 - 20 = 0$

$M$ על חוצה הזווית שברביע הראשון $y=2x+10$, נסמן $M(a,\,2a+10)$

הרדיוס $MA \perp \ell_1$ (שיפוע $\ell_1$ הוא $\tfrac34$): $\;\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{(2a+10)-8}{a-4} = -1$

מדריך $x=-4$, ולכן הפרבולה הקנונית היא $\;y^2 = 16x$ (מוקד $(4,0)$, מדריך $x=-4$)

בדיקה ש-$A(4,8)$ על הפרבולה: $\;8^2 = 64 = 16\cdot4$ ✓

שיפוע המשיק לפרבולה: $\;2y\,y' = 16 \Rightarrow y' = \dfrac{8}{y}$; ב-$A(4,8)$: $\;y' = \dfrac{8}{8} = 1$

שיפוע $\ell_1$ הוא $\tfrac{3}{4} \ne 1$ — השיפועים שונים

שתי נקודות ההשקה סימטריות לציר $x$, ולכן מרכז המעגל על ציר $x$: $\;(a,\,0)$

הרדיוס מ-$(a,0)$ ל-$A(4,8)$ מאונך למשיק לפרבולה ב-$A$ (שיפוע $1$): $\;\dfrac{8-0}{4-a}\cdot 1 = -1$

$8 = a-4 \;\Rightarrow\; a = 12$ — מרכז $(12,0)$