קיץ 2023 · מועד מיוחד

נגזור (כלל המכפלה): $\;f''(x) = -2\cdot e^{-x^2/a} + (-2x)\cdot e^{-x^2/a}\cdot\left(-\dfrac{2x}{a}\right)$

נקודת פיתול ב-$x=\sqrt2$: $\;f''(\sqrt2)=0$

מסעיף א: $a=4$, אז $\;f'(x) = -2x\,e^{-x^2/4}$

נשים לב: $\;\dfrac{d}{dx}\,e^{-x^2/4} = e^{-x^2/4}\cdot\left(-\dfrac{x}{2}\right)$

לכן $\;-2x\,e^{-x^2/4} = 4\cdot\left(-\dfrac{x}{2}\right)e^{-x^2/4}$

נתון $f(0)=4$: $\;4 = 4e^{0} + C = 4 + C$

כאשר $x\to\pm\infty$: המעריך $\;-\dfrac{x^2}{4}\to-\infty$

לכן $\;e^{-x^2/4}\to 0$

$f(0) = 4e^{0} = 4$, ולכן נקודת הקיצון היא $(0,\,4)$

משמאל ל-$0$ הפונקציה עולה ומימין יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום

הפונקציה זוגית ולכן סימטרית לציר $y$

מקסימום יחיד בנקודה $(0,4)$

אסימפטוטה מאוזנת $y=0$, והפונקציה תמיד חיובית ($f(x)>0$)

מתקבל גרף בצורת פעמון

$f'(x)=-2x\,e^{-x^2/4}$: אי-זוגית, $f'(0)=0$, חיובית ל-$x<0$ ושלילית ל-$x>0$, שואפת ל-$0$ — מתאים לגרף $III$

$h(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$: אסימפטוטה אנכית ב-$x=0$, $h>0$ ל-$x<0$ ו-$h<0$ ל-$x>0$ — מתאים לגרף $I$

$m(x)=e^{h(x)}$: תמיד חיובית; ל-$x<0$ גדולה מ-$1$ ושואפת ל-$\infty$ ליד $x=0^-$, ל-$x>0$ בין $0$ ל-$1$ — מתאים לגרף $IV$

נשווה לאפס: $\;e^{1/f'(x)}\ne 0$ ו-$\left(f'(x)\right)^2>0$, ולכן $\;m'(x)=0$ כלומר $f''(x)=0$

לפי גרף $m(x)$ (גרף $IV$): הפונקציה יורדת משמאל ל-$-\sqrt2$ ומימין ל-$\sqrt2$

בתחום $[1,2]$ מתקיים $x>0$

$f'(x)=-2x\,e^{-x^2/4}<0$ עבור $x>0 \;\Rightarrow\; h(x)=\dfrac{1}{f'(x)}<0$

$m(x)=e^{h(x)}>0$ תמיד

לכן המכפלה $\;h(x)\cdot m(x) < 0\;$ בכל הקטע $[1,2]$

אינטגרל מסוים של פונקציה רציפה ושלילית הוא שלילי