קיץ 2021 · מועד מיוחד

הפונקציה $f(x) = x\cdot(\ln x)^n$ מכילה את $\ln x$, המוגדר רק עבור $x > 0$

אין בפונקציה גורם נוסף שמצמצם את התחום (אין מכנה שמתאפס ואין שורש זוגי)

לכן התחום זהה לכל $n$ — בין אם זוגי ובין אם אי-זוגי

נגזור את הפונקציה בעזרת כלל המכפלה. נסמן $u = x$ ו-$v = (\ln x)^n$:

נוציא גורם משותף $(\ln x)^{n-1}$:

הנגזרת מתאפסת כאשר $x = 1$ (מהגורם $(\ln x)^{n-1}$) או כאשר $x = e^{-n}$ (מהגורם $\ln x + n$)

הסימן של $(\ln x)^{n-1}$ תלוי בזוגיות $n$, ולכן נפצל לשלושה מקרים.

מקרה ראשון — $n = 1$: כאן $(\ln x)^{n-1} = (\ln x)^0 = 1$, ולכן $f^{\prime}(x) = \ln x + 1$, המתאפסת ב-$\ln x = -1$ כלומר ב-$x = \frac{1}{e}$

טבלת הסימנים עבור $n = 1$:

מסקנה לעבור $n = 1$: ירידה בקטע $\left(0,\,\frac{1}{e}\right)$ ועלייה בקטע $\left(\frac{1}{e},\,\infty\right)$

מקרה שני — $n$ זוגי: אז $n-1$ אי-זוגי, ולכן הסימן של $(\ln x)^{n-1}$ זהה לסימן של $\ln x$

טבלת הסימנים עבור $n$ זוגי:

מסקנה עבור $n$ זוגי: עלייה ב-$(0,\,e^{-n})$, ירידה ב-$(e^{-n},\,1)$, ועלייה ב-$(1,\,\infty)$

מקרה שלישי — $n$ אי-זוגי וגדול מ-$1$ (כלומר $n \ge 3$): אז $n-1$ זוגי, ולכן $(\ln x)^{n-1} \ge 0$ תמיד (ומתאפס רק ב-$x = 1$)

טבלת הסימנים עבור $n$ אי-זוגי ($n \ge 3$):

מסקנה עבור $n$ אי-זוגי ($n \ge 3$): ירידה ב-$(0,\,e^{-n})$ ועלייה ב-$(e^{-n},\,\infty)$; ב-$x = 1$ יש משיק אופקי אך הפונקציה ממשיכה לעלות (אין שינוי כיוון)

נקרא את נקודות הקיצון מטבלאות הסימנים שבסעיף הקודם, ונחשב את ערכי $f$ בהן.

מקרה $n = 1$: בטבלה יש מעבר $(-)\to(+)$ ב-$x = \frac{1}{e}$, ולכן זהו מינימום

לכן עבור $n = 1$ יש מינימום בנקודה $\left(\frac{1}{e},\, -\frac{1}{e}\right)$

מקרה $n$ זוגי: מעבר $(+)\to(-)$ ב-$x = e^{-n}$ הוא מקסימום, ומעבר $(-)\to(+)$ ב-$x = 1$ הוא מינימום

ערך המקסימום: $f(e^{-n}) = e^{-n}\cdot(\ln e^{-n})^n = e^{-n}\cdot(-n)^n$, וכי $n$ זוגי $(-n)^n = n^n$, אז הערך הוא $n^n e^{-n}$ (חיובי)

ערך המינימום: $f(1) = 1\cdot(\ln 1)^n = 0$

לכן עבור $n$ זוגי: מקסימום ב-$\left(e^{-n},\, n^n e^{-n}\right)$ ומינימום ב-$(1,\, 0)$

מקרה $n$ אי-זוגי ($n \ge 3$): מעבר $(-)\to(+)$ ב-$x = e^{-n}$ הוא מינימום; ב-$x = 1$ הנגזרת מתאפסת אך הסימן אינו משתנה, ולכן זו אינה נקודת קיצון (משיק אופקי בלבד)

ערך המינימום: $f(e^{-n}) = e^{-n}\cdot(-n)^n$, וכי $n$ אי-זוגי $(-n)^n = -n^n$, אז הערך הוא $-n^n e^{-n}$ (שלילי)

לכן עבור $n$ אי-זוגי ($n \ge 3$): מינימום ב-$\left(e^{-n},\, -n^n e^{-n}\right)$, ובנוסף נקודה $(1, 0)$ עם משיק אופקי שאינה קיצון

נשתמש במאפייני הקיצון שמצאנו בסעיף א כדי לזהות כל גרף.

עבור $n = 1$: נקודת קיצון יחידה — מינימום מתחת לציר ב-$\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)$, ללא מקסימום. הפונקציה שלילית בכל $(0,1)$ וחיובית מעל $x = 1$. זה מתאים לגרף ג.

עבור $n = 2$ (זוגי): מקסימום מעל הציר ב-$\left(e^{-2}, 4e^{-2}\right)$ ומינימום הנוגע בציר ב-$(1, 0)$. כל הגרף נמצא מעל ציר $x$ (או עליו). זה מתאים לגרף ב.

עבור $n = 3$ (אי-זוגי): מינימום מתחת לציר ב-$\left(e^{-3}, -27e^{-3}\right)$, ובנוסף משיק אופקי ב-$(1, 0)$ שבו הגרף משטח אך ממשיך לעלות. זה מתאים לגרף א.

נשים לב ש-$g(x) = \dfrac{1}{x(\ln x)^2}$ היא ההופכית של הפונקציה $x(\ln x)^2$ (המקרה $n = 2$)

תחום ההגדרה: דרושים $x > 0$ וגם $x(\ln x)^2 \ne 0$, כלומר $x \ne 1$; התחום הוא $(0,1)\cup(1,\infty)$

הפונקציה חיובית בכל תחומה, כי $x > 0$ וגם $(\ln x)^2 > 0$

אסימפטוטה אנכית ב-$x = 1$: כאשר $x \to 1$ המכנה $\to 0^+$, ולכן $g \to +\infty$

אסימפטוטה אנכית ב-$x = 0$ (ציר $y$): כאשר $x \to 0^+$ המכנה $x(\ln x)^2 \to 0^+$, ולכן $g \to +\infty$

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x \to \infty$ המכנה $\to \infty$, ולכן $g \to 0^+$ — האסימפטוטה היא $y = 0$

נמצא קיצון. נגזור $g(x) = \big(x(\ln x)^2\big)^{-1}$ לפי כלל השרשרת:

המונה הוא $\big(x(\ln x)^2\big)^{\prime} = (\ln x)(\ln x + 2)$ (הנוסחה מסעיף א עם $n = 2$), המתאפס ב-$x = 1$ (מחוץ לתחום) וב-$x = e^{-2}$

בקטע $(0,1)$ הפונקציה $g$ שואפת ל-$+\infty$ בשני קצותיו, ולכן ב-$x = e^{-2}$ יש מינימום מקומי

אם כך, בקטע $(0,1)$ הגרף יורד מ-$+\infty$ למינימום $\left(e^{-2}, \frac{e^2}{4}\right)$ ועולה חזרה ל-$+\infty$; בקטע $(1,\infty)$ הוא יורד מ-$+\infty$ אל $y = 0$

בקטע $\left[\frac{1}{e^2},\, \frac{1}{e}\right]$ הפונקציה $g$ חיובית (מעל ציר $x$), ולכן השטח שווה לאינטגרל המסוים שלה

נחשב את האינטגרל. נכתוב את המבטא בצורה $\dfrac{1}{x(\ln x)^2} = (\ln x)^{-2}\cdot\dfrac{1}{x}$ ונציב $t = \ln x$ (אז $dt = \dfrac{1}{x}\,dx$):

הפונקציה הקדומה היא $-\dfrac{1}{\ln x}$, ולכן:

נציב את הגבול העליון $x = \frac{1}{e}$. שם $\ln\frac{1}{e} = -1$, ולכן הערך הוא $-\dfrac{1}{-1} = 1$

נציב את הגבול התחתון $x = \frac{1}{e^2}$. שם $\ln\frac{1}{e^2} = -2$, ולכן הערך הוא $-\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}$