קיץ 2021 · מועד מיוחד

המקום הגאומטרי של נקודות שמרחקן שווה משתי נקודות נתונות הוא האנך האמצעי לקטע שמחבר ביניהן.

נחשב את שיפוע הקטע שמחבר את שתי הנקודות:

שיפוע האנך האמצעי הוא ההופכי הנגדי:

נמצא את שיעורי אמצע הקטע:

האנך האמצעי עובר דרך הראשית בשיפוע $a$, ולכן משוואתו:

נאמת אלגברית שהמקום אכן קו ישר — נשווה את המרחקים מנקודה כללית אל שתי הנקודות:

נעלה את שני האגפים בריבוע:

שיפועים: $m_1 = -a$ (הישר הנתון), $\;m_2 = a$ (הישר מסעיף א)

תנאי אנכיות: $m_1 \cdot m_2 = -1$

נבחר $a = 1$: הישרים $y = x$ ו-$y = -x$, כל אחד בזווית $45°$ עם ציר $x$

הרדיוס ניצב למשיק: $\angle MAO = \angle NBO = 90°$

הזווית בראשית: $\angle MOA = \angle NOB = 45°$

דמיון משולשים: $\triangle MAO \sim \triangle NBO$

מהיחס $r_M = 2r_N$: $\;\dfrac{MO}{NO} = 2 \;\Rightarrow\; MO = 2\,NO$

מרחק בין המרכזים: $MO + NO = 6$

המרכזים: $M(4,0)$, $\;N(-2,0)$

במשולש $MAO$ ($45°$, שווה-שוקיים): $MA = AO$

פיתגורס: $MA^2 + AO^2 = MO^2 \;\Rightarrow\; 2MA^2 = 16$

מעגל $M$: $(x-4)^2 + y^2 = 8$

מעגל $N$: $(x+2)^2 + y^2 = 2$

נכתוב את הישר הנתון בצורת שיפוע-חותך:

שיפועו $m = \dfrac{1}{\sqrt{17}}$, והוא חותך את ציר $y$ בנקודה $\left(0,\,\dfrac{8}{\sqrt{17}}\right)$

שני מרכזי המעגלים מונחים על ציר ה-$x$, ולכן כל התרשים סימטרי ביחס לציר ה-$x$

מסקנה: השתקפות כל משיק משותף בציר ה-$x$ היא גם משיק משותף — זהו המשיק הרביעי

בהשתקפות בציר $x$ השיפוע מחליף סימן והחיתוך עם ציר $y$ מחליף סימן:

שיפוע $-\dfrac{1}{\sqrt{17}}$, חיתוך עם ציר $y$ בנקודה $\left(0,\,-\dfrac{8}{\sqrt{17}}\right)$

בדיקה — מרחק מ-$M(4,0)$ לישר: $\;\dfrac{|4+8|}{\sqrt{1+17}} = \dfrac{12}{3\sqrt2} = 2\sqrt2 = r_M$ ✓

בדיקה — מרחק מ-$N(-2,0)$ לישר: $\;\dfrac{|-2+8|}{\sqrt{1+17}} = \dfrac{6}{3\sqrt2} = \sqrt2 = r_N$ ✓