קיץ 2021 · מועד מיוחד

המכנה של הפונקציה הוא $e^x + e^{-x}$

לכל $x$ ממשי מתקיים $e^x > 0$ וגם $e^{-x} > 0$, ולכן הסכום חיובי ואינו מתאפס לעולם

מכאן שהפונקציה מוגדרת לכל $x$ ממשי

נפשט את הפונקציה — נכפיל מונה ומכנה ב-$e^x$ ונקבל:

אסימפטוטות אנכיות: אין, כי הפונקציה מוגדרת לכל $x$ (המכנה אינו מתאפס)

נחשב את הגבול ב-$x \to +\infty$ כדי למצוא אסימפטוטה אופקית:

נחשב כעת את הגבול ב-$x \to -\infty$ (שם $e^{2x} \to 0$):

לכן יש שתי אסימפטוטות אופקיות: $y = 1$ (כש-$x \to +\infty$) ו-$y = -1$ (כש-$x \to -\infty$)

נגזור את הצורה המפושטת $f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ בעזרת כלל המנה:

נוציא $2e^{2x}$ מהמונה:

המונה $4e^{2x} > 0$ והמכנה $(e^{2x}+1)^2 > 0$ לכל $x$, ולכן $f^{\prime}(x) > 0$ תמיד

מכאן ש-$f$ עולה ממש בכל תחום הגדרתה, ואין תחומי ירידה

נציב $-x$ במקום $x$ בפונקציה (נזכור $e^{-(-x)} = e^x$):

נוציא $-1$ מהמונה:

קיבלנו $f(-x) = -f(x)$, ולכן $f$ אי-זוגית

נסכם את המאפיינים שמצאנו: תחום ההגדרה — כל $x$ ממשי, הגרף עובר דרך הראשית $(0,0)$, והפונקציה אי-זוגית (סימטרית ביחס לראשית)

הפונקציה עולה ממש לכל $x$ וללא נקודות קיצון

יש אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (מימין) ו-$y = -1$ (משמאל)

מתקבלת עקומת $S$ מתונה שעולה מ-$y = -1$ אל $y = 1$ ועוברת דרך הראשית

נציב $x = 1$ בישר ונקבל $g(1) = a \cdot 1 = a$; מהנתון $g(1) = f(1)$ נובע $a = f(1)$

נשתמש בצורה המפושטת $f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$:

נציב מספרית את $e^2 \approx 7.389$ ונקבל:

נמצא את נקודות החיתוך: $f(0) = g(0) = 0$ (שתיהן עוברות דרך הראשית), ומהנתון $f(1) = g(1)$

גם $f$ וגם $g$ אי-זוגיות, ולכן הן נחתכות גם ב-$x = -1$, והתחום הכלוא הוא $[-1, 1]$

בגלל האי-זוגיות השטח על $[-1,0]$ שווה לשטח על $[0,1]$, ולכן נחשב פי $2$ את החלק הימני

נבדוק מי מעל מי על $[0,1]$ — נגזור שוב את הנגזרת הראשונה:

עבור $x > 0$ מתקיים $e^{2x} > 1$, ולכן $f^{\prime\prime}(x) < 0$ — הפונקציה קעורה ונמצאת מעל המיתר $g$, כלומר $f(x) \ge g(x)$ על $[0,1]$

נשים לב ש-$e^x - e^{-x}$ הוא הנגזרת של $e^x + e^{-x}$, ולכן הפונקציה הקדומה היא:

נציב את הגבול העליון $x = 1$ ונקבל $\ln(e + e^{-1}) - 0.3808 \approx 1.127 - 0.381 = 0.7461$

נציב את הגבול התחתון $x = 0$ ונקבל $\ln(1 + 1) = \ln 2 \approx 0.6931$