קיץ 2020 · מועד א

נחלק ב-$\operatorname{cis}$: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\operatorname{cis}\alpha}{\operatorname{cis}\,(7\alpha/3)} = \operatorname{cis}\left(\alpha - \dfrac{7\alpha}{3}\right) = \operatorname{cis}\left(-\dfrac{4\alpha}{3}\right)$.

במפורש: $\dfrac{z_1}{z_2} = \cos\!\left(-\dfrac{4\alpha}{3}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{4\alpha}{3}\right)$.

תנאי "מספר ממשי" פירושו שהחלק המדומה אפס: $\sin\!\left(-\dfrac{4\alpha}{3}\right) = 0$, כלומר $-\dfrac{4\alpha}{3} = \pi k$ עבור $k$ שלם.

מכאן $\alpha = -\dfrac{3\pi k}{4}$.

נבחר $k$ שייתן $\alpha$ בתחום $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$: $\;k=-1 \Rightarrow \alpha = \dfrac{3\pi}{4}$ (בודקים: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ ✓). שאר ה-$k$-ים מחוץ לתחום.

הצבה: $-\dfrac{4\alpha}{3} = -\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3\pi}{4} = -\pi$, ולכן $\dfrac{z_1}{z_2} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$.

נכפיל ב-$\operatorname{cis}$: $z_1\cdot z_2 = \operatorname{cis}\alpha \cdot \operatorname{cis}\dfrac{7\alpha}{3} = \operatorname{cis}\!\left(\alpha + \dfrac{7\alpha}{3}\right) = \operatorname{cis}\dfrac{10\alpha}{3}$.

נציב $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$: $\;\dfrac{10\alpha}{3} = \dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}$.

נוריד מחזור: $\;\dfrac{5\pi}{2} - 2\pi = \dfrac{\pi}{2}$. לכן $z_1 \cdot z_2 = \operatorname{cis}\dfrac{\pi}{2}$.

החלק הממשי הוא $0$ — לכן $z_1\cdot z_2 = i$ הוא מספר מדומה טהור. מש״ל

מסעיפים קודמים: $\;\dfrac{z_1}{z_2} = -1$, $\;z_1 z_2 = i$. לכן $w = -1 + i$.

נעבור ל-$\operatorname{cis}$: $|w| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. הנקודה $(-1, 1)$ ברביע השני, לכן $\arg(w) = \dfrac{3\pi}{4}$.

אז $w = \sqrt{2}\,\operatorname{cis}\dfrac{3\pi}{4}$.

בחזקה 6: $\;w^6 = (\sqrt{2})^6 \cdot \operatorname{cis}\!\left(6\cdot\dfrac{3\pi}{4}\right) = 8 \cdot \operatorname{cis}\dfrac{9\pi}{2}$.

נוריד מחזורי $2\pi$ מהזווית: $\;\dfrac{9\pi}{2} - 4\pi = \dfrac{\pi}{2}$. אז $w^6 = 8\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{2}$.

נפתור $z^3 = 8\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{2}$ לפי נוסחת השורש: $\;z_k = \sqrt[3]{8}\cdot\operatorname{cis}\dfrac{\pi/2 + 2\pi k}{3} = 2\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi + 4\pi k}{6}$ עבור $k = 0,1,2$.

שלושת הפתרונות מסעיף ב נמצאים על מעגל יחיד $\;|z|=2$, עם הפרשי זווית קבועים: $\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}$, וכן $\dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}$.

במשושה משוכלל הזווית בין קודקודים סמוכים היא $\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$. ההפרש שלנו $\dfrac{2\pi}{3}$ הוא בדיוק כפול מזה — כלומר הפתרונות יכולים להיות קודקודים מדלגים (כל שני קודקוד) של משושה משוכלל. ✓

נמצא את שלושת הקודקודים הנוספים על-ידי הוספת $\dfrac{\pi}{3}$ לכל זווית של הפתרונות הקיימים:

כדי שהפתרונות יהיו קודקודים של $n$-גון משוכלל מסביב לראשית, ההפרש הזוויתי ביניהם — $\dfrac{2\pi}{3}$ — חייב להיות כפולה שלמה של זווית הצעד $\dfrac{2\pi}{n}$.

מהדרישה $\dfrac{2\pi}{3} = m \cdot \dfrac{2\pi}{n}$ ($m$ שלם) נובע $n = 3m$, כלומר $n$ חייב להיות כפולה של 3.

הדרישה $n > 6$ פוסלת את $n=3$ ו-$n=6$. הערך הטבעי הקטן הבא: $\;\boxed{n = 9}$.

אימות עבור $n = 9$: הקודקודים נמצאים בזוויות $\dfrac{\pi}{6} + k\cdot\dfrac{2\pi}{9}$. ההפרש בין הפתרונות שלנו $\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{9}$ — בדיוק 3 צעדים. ✓

דוגמאות נוספות תקפות: $n = 12, 15, 18, \ldots$ (כל כפולה של 3 גדולה מ-6).