קיץ 2020 · מועד א

נסמן נקודה כללית $G(x_1, y_1)$ על המקום הגאומטרי, כאשר $x_1 \ne 0$ (אחרת $G=O$ ואין משולש).

הישר $OG$ עובר דרך הראשית, ולכן השיפוע שלו הוא $\dfrac{y_1}{x_1}$, ומשוואתו: $y = \dfrac{y_1}{x_1}\,x$, או בצורה סטנדרטית $-y_1\,x + x_1\,y = 0$.

הגובה מ-$M(2,6)$ לישר $OG$ הוא המרחק בין הנקודה לישר. לפי הנוסחה: $\dfrac{\bigl|-y_1\cdot 2 + x_1\cdot 6\bigr|}{\sqrt{(-y_1)^2 + x_1^2}} = 6$.

נעלה בריבוע את שני האגפים ונכפול ב-$y_1^2+x_1^2$: $\;(6x_1 - 2y_1)^2 = 36\,(x_1^2 + y_1^2)$.

נפתח: $36x_1^2 - 24x_1 y_1 + 4y_1^2 = 36x_1^2 + 36y_1^2$, ולאחר צמצום: $-24x_1 y_1 - 32y_1^2 = 0$, או $y_1\,(32y_1 + 24x_1) = 0$.

אפשרות 1: $y_1 = 0$ — הנקודה $G$ על ציר ה-$x$, כלומר על הישר $y = 0$.

אפשרות 2: $32y_1 + 24x_1 = 0 \;\Longrightarrow\; y_1 = -\dfrac{3}{4}x_1$ — הנקודה $G$ על הישר $y = -\dfrac{3}{4}x$.

לכן המקום הגאומטרי של כל ה-$G$ האפשריים נמצא על איחוד שני הישרים $y=0$ ו-$y=-\tfrac{3}{4}x$. מש״ל

רדיוס מעגל המשיק לישר שווה למרחק מהמרכז אל הישר.

בסעיף א ראינו שהמרחק מ-$M(2,6)$ לכל אחד משני הישרים הוא $6$ — לכן רדיוס המעגל הוא $r = 6$.

משוואת מעגל עם מרכז $M(2,6)$ ורדיוס $6$: $(x-2)^2 + (y-6)^2 = 36$.

נקודת ההשקה $P$ לישר $y=0$: הרדיוס $MP$ מאונך לישר. כיוון שהישר $y=0$ אופקי, $MP$ אנכי, ולכן ל-$P$ אותו שיעור $x$ כמו ל-$M$.

כיוון ש-$P$ על הישר $y=0$ ו-$x_P = 2$: $\;P(2,\,0)$.

נקודת ההשקה $Q$ לישר $y=-\tfrac{3}{4}x$: השיפוע של הישר הוא $-\tfrac{3}{4}$, לכן השיפוע של $MQ$ (המאונך לו) הוא $\dfrac{4}{3}$.

משוואת $MQ$ דרך $M(2,6)$ עם שיפוע $\tfrac{4}{3}$: $\;y - 6 = \dfrac{4}{3}(x-2)$, כלומר $y = \dfrac{4}{3}x + \dfrac{10}{3}$.

מציאת חיתוך עם הישר $y=-\tfrac{3}{4}x$: $\;-\dfrac{3}{4}x = \dfrac{4}{3}x + \dfrac{10}{3}$.

נכפול את שני האגפים ב-$12$: $\;-9x = 16x + 40 \;\Longrightarrow\; -25x = 40 \;\Longrightarrow\; x = -\dfrac{8}{5}$.

נציב חזרה: $y = -\dfrac{3}{4}\cdot\left(-\dfrac{8}{5}\right) = \dfrac{6}{5}$. לכן $\;Q\!\left(-\dfrac{8}{5},\,\dfrac{6}{5}\right)$.

בדיקה: המרחק $MQ = \sqrt{\left(2+\tfrac{8}{5}\right)^2 + \left(6-\tfrac{6}{5}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{324}{25} + \tfrac{576}{25}} = \sqrt{36} = 6$ ✓ — שווה לרדיוס.

$P$ ו-$Q$ הן נקודות השקה למעגל שמרכזו $M$ — לכן הרדיוסים $MP$ ו-$MQ$ מאונכים לישרים בהם.

מכאן: $\angle OPM = 90°$ ו-$\angle OQM = 90°$.

במרובע $OPMQ$ סכום זוויות נגדיות: $\angle OPM + \angle OQM = 90° + 90° = 180°$.

לפי משפט המרובע בר-החסימה: סכום זוויות נגדיות שווה ל-$180°$ אם ורק אם המרובע ניתן לחסימה במעגל. לכן כן, $OPMQ$ בר חסימה.

מציאת המעגל החוסם: כיוון שהזוויות ב-$P$ וב-$Q$ ישרות והן זוויות היקפיות במעגל החוסם, $OM$ הוא קוטר (זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה).

מרכז המעגל החוסם הוא אמצע $OM$: $\;F = \left(\dfrac{0+2}{2},\,\dfrac{0+6}{2}\right) = (1,\,3)$.

רדיוס: $R = \dfrac{|OM|}{2} = \dfrac{\sqrt{2^2+6^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \sqrt{10}$.

משוואת המעגל החוסם: $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 10$.

בדיקה מהירה: $O(0,0)$: $1+9=10$ ✓ · $P(2,0)$: $1+9=10$ ✓ · $M(2,6)$: $1+9=10$ ✓ · $Q(-\tfrac{8}{5},\tfrac{6}{5})$: $\tfrac{169}{25}+\tfrac{81}{25}=10$ ✓.