קיץ 2020 · מועד א

נפרק את $\vec{AM}$ לרצף נוח: $\vec{AM} = \vec{AK} + \vec{KB} + \vec{BB'} + \vec{B'M}$.

מתוך $AK = 2KA'$ נקבל $AK:AA' = 2:3$, ולכן $\vec{AK} = \tfrac{2}{3}\vec{w}$.

$\vec{KB} = \vec{u}$ (נתון). $\vec{BB'} = \vec{AA'} = \vec{w}$ (צלעות צדדיות במנסרה ישרה מקבילות ושוות).

$M$ אמצע $B'C'$, ולכן $\vec{B'M} = \tfrac{1}{2}\vec{B'C'} = \tfrac{1}{2}\vec{BC}$ (במנסרה ישרה $\vec{B'C'} = \vec{BC}$).

את $\vec{BC}$ נבטא דרך $K$: $\vec{BC} = \vec{BK} + \vec{KC} = -\vec{u} + \vec{v}$.

נסכום הכול: $\vec{AM} = \tfrac{2}{3}\vec{w} + \vec{u} + \vec{w} + \tfrac{1}{2}(-\vec{u} + \vec{v}) = \tfrac{5}{3}\vec{w} + \tfrac{1}{2}\vec{u} + \tfrac{1}{2}\vec{v}$.

$P$ על הקטע $AM$ ← קיים סקלר $t$ עם $\vec{AP} = t\,\vec{AM}$.

דרך מסלול $K \to A \to P$: $\vec{KP} = \vec{KA} + \vec{AP} = -\tfrac{2}{3}\vec{w} + t\,\vec{AM}$.

נציב את $\vec{AM}$ מסעיף א: $\vec{KP} = -\tfrac{2}{3}\vec{w} + t\left(\tfrac{5}{3}\vec{w} + \tfrac{1}{2}\vec{u} + \tfrac{1}{2}\vec{v}\right)$.

פתיחה וכינוס: $\vec{KP} = \dfrac{5t-2}{3}\vec{w} + \dfrac{t}{2}\vec{u} + \dfrac{t}{2}\vec{v}$.

נשווה לדרישה $\vec{KP} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$. הווקטורים $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ פורשים את המרחב ואינם קופלנריים — לכן ההצגה יחידה ואפשר להשוות מקדמים.

מקדם $\vec{w}$: $\dfrac{5t-2}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{2}{5}$.

מקדמי $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$: $\;\alpha = \dfrac{t}{2} = \dfrac{1}{5}$, $\;\beta = \dfrac{t}{2} = \dfrac{1}{5}$.

בסעיף ב מצאנו $\vec{KP} = \tfrac{1}{5}\vec{u} + \tfrac{1}{5}\vec{v}$ — צירוף לינארי של $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$.

הווקטורים $\vec{u} = \vec{KB}$ ו-$\vec{v} = \vec{KC}$ מונחים על המישור $KBC$ (כי הוא עובר דרך שלוש הנקודות $K, B, C$).

כל צירוף לינארי של שני וקטורים שמונחים על מישור — גם הוא מונח על אותו מישור. לכן $\vec{KP}$ מונח על $KBC$.

כיוון ש-$K$ על המישור והווקטור $\vec{KP}$ מונח עליו — גם הנקודה $P = K + \vec{KP}$ נמצאת על המישור. מש״ל

המישור $KBC$ פרוש ע"י $\vec{u} = (5,5,-5)$ ו-$\vec{v} = (10,-5,0)$. נשתמש בכפולות פשוטות יותר: $\vec{u}' = (1,1,-1)$ ו-$\vec{v}' = (2,-1,0)$ (אותו כיוון).

נחפש וקטור נורמל $(a,b,c)$ שמאונך לשניהם:

נציב במשוואה הראשונה: $a + 2a - c = 0 \;\Longrightarrow\; c = 3a$.

נבחר $a = 1$: $\;(a,b,c) = (1, 2, 3)$.

משוואת המישור: $x + 2y + 3z + d = 0$. נציב את $P(0,4,6)$ שעל המישור: $0 + 8 + 18 + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = -26$.

משוואת המישור: $x + 2y + 3z - 26 = 0$.

מסעיף ב: $\alpha = \beta = \tfrac{1}{5}$, ולכן $\vec{KP} = \tfrac{1}{5}\vec{u} + \tfrac{1}{5}\vec{v}$.

נחשב כווקטור: $\vec{KP} = \tfrac{1}{5}(5,5,-5) + \tfrac{1}{5}(10,-5,0) = (1, 1, -1) + (2, -1, 0) = (3, 0, -1)$.

מהזהות $\vec{KP} = P - K$ נקבל $K = P - \vec{KP}$.

בדיקה: $K$ אמור להיות על המישור $KBC$. נציב במשוואה $x + 2y + 3z - 26$: $-3 + 8 + 21 - 26 = 0$ ✓.