קיץ 2024 · מועד ב

חיתוך עם ציר $x$: מאפסים את הפונקצייה, $\;f(x) = 0$.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס: $\;2\ln x - 1 = 0$.

מבודדים: $\;\ln x = \dfrac{1}{2}$.

פותרים (בתחום $x > 0$): $\;x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

$g$ היא פונקצייה קדומה של $f$: $\;g(x) = \displaystyle\int \dfrac{2\ln x - 1}{x}\,dx$.

נציב $t = 2\ln x - 1$, ואז $\;dt = \dfrac{2}{x}\,dx$, כלומר $\dfrac{1}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,dt$.

לכן $\;g(x) = \displaystyle\int t \cdot \dfrac{1}{2}\,dt = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^2}{2} + C = \dfrac{t^2}{4} + C$.

מחזירים את $t$: $\;g(x) = \dfrac{(2\ln x - 1)^2}{4} + C$.

נקודת הקיצון של $g$ היא במקום שבו $g' = f = 0$, כלומר ב-$x = \sqrt{e}$.

הערך שם: $\;g(\sqrt{e}) = \dfrac{\left(2 \cdot \tfrac{1}{2} - 1\right)^2}{4} + C = 0 + C = C$.

נתון $g(\sqrt{e}) = -\tfrac{1}{4}$, ולכן $\;C = -\dfrac{1}{4}$.

מציבים ומפשטים: $\;g(x) = \dfrac{(2\ln x - 1)^2 - 1}{4} = \dfrac{4\ln^2 x - 4\ln x}{4}$.

לכן $\;g(x) = \ln^2 x - \ln x$.

מציבים $\;g(x) = 0$: $\;\ln^2 x - \ln x = 0$.

מוציאים גורם משותף: $\;\ln x\,(\ln x - 1) = 0$.

אפשרות ראשונה: $\;\ln x = 0 \Rightarrow x = 1$.

אפשרות שנייה: $\;\ln x = 1 \Rightarrow x = e$.

נקודת הקיצון של $g$ היא ב-$x = \sqrt{e}$; זהו מינימום (הנגזרת $g' = f$ עוברת ממינוס לפלוס), עם ערך $g(\sqrt{e}) = -\tfrac{1}{4}$.

חיתוכי ציר $x$: $\;(1, 0)$ ו-$(e, 0)$; שימו לב $1 < \sqrt{e} < e$, כלומר המינימום נמצא בין שני האפסים.

בקצוות: $\;\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$ וגם $\lim_{x \to \infty} g(x) = +\infty$ (המחובר $\ln^2 x$ גובר).

הפונקצייה $h(x) = 1 + \dfrac{a}{g(x)}$ מוגדרת רק כאשר המכנה אינו מתאפס, $\;g(x) \ne 0$ (ובתחום $x > 0$).

מסעיף ב2, $\;g(x) = 0$ ב-$x = 1$ וב-$x = e$.

לכן יש להוציא נקודות אלו מתחום ההגדרה.

נבדוק אם קיים $x$ שבו $\;h(x) = 0$: $\;1 + \dfrac{a}{g(x)} = 0$.

מבודדים: $\;\dfrac{a}{g(x)} = -1$, ומכאן $g(x) = -a$.

נתון $a > \tfrac{1}{4}$, ולכן הערך הדרוש מקיים $\;-a < -\tfrac{1}{4}$.

אבל ערך המינימום של $g$ הוא $-\tfrac{1}{4}$, ולכן $\;g(x) \ge -\tfrac{1}{4}$ לכל $x$ בתחום.

$g(x)$ לעולם אינו קטן מ-$-\tfrac{1}{4}$, ולכן המשוואה $g(x) = -a$ חסרת פתרון.

גוזרים את $h(x) = 1 + a\,[g(x)]^{-1}$ בכלל השרשרת: $\;h'(x) = -a\,[g(x)]^{-2} \cdot g'(x) = \dfrac{-a\,g'(x)}{[g(x)]^2}$.

המכנה $[g(x)]^2 > 0$ ו-$a > 0$, ולכן $h'(x) = 0$ רק כאשר $\;g'(x) = 0$.

אך $g'(x) = f(x)$, ו-$f(x) = 0$ ב-$x = \sqrt{e}$; לכן נקודת הקיצון של $h$ היא ב-$x = \sqrt{e}$.

הערך: $\;h(\sqrt{e}) = 1 + \dfrac{a}{g(\sqrt{e})} = 1 + \dfrac{a}{-\tfrac{1}{4}} = 1 - 4a$.

קביעת הסוג: הסימן של $h'$ הפוך לסימן של $g'$. בקטע $(1, e)$ שלפני $\sqrt{e}$ מתקיים $g' < 0$, ולכן $h' > 0$; אחרי $\sqrt{e}$ מתקיים $g' > 0$, ולכן $h' < 0$.

$h$ עולה ואז יורדת סביב $x = \sqrt{e}$, ולכן זו נקודת מקסימום.

אסימפטוטה מאוזנת: כאשר $x \to 0^+$ וכאשר $x \to \infty$ מתקיים $g(x) \to +\infty$, ולכן $\dfrac{a}{g(x)} \to 0$ ו-$h(x) \to 1$ — אסימפטוטה $y = 1$.

אסימפטוטות אנכיות: ב-$x = 1$ וב-$x = e$ (שם $g = 0$).

בקטעים החיצוניים ($0 < x < 1$ וגם $x > e$) מתקיים $g > 0$, ולכן $h > 1$ — הענפים מעל האסימפטוטה $y = 1$.

בקטע האמצעי ($1 < x < e$) מתקיים $g < 0$, והמקסימום $h(\sqrt{e}) = 1 - 4a < 0$ — כל הענף מתחת לציר $x$.

הגרף המתאים לכל אלה — שני ענפים חיצוניים מעל $y = 1$ וענף אמצעי (דמוי גבעה) כולו מתחת לציר $x$ — הוא גרף II.