קיץ 2024 · מועד ב

אלכסוני המעוין נחתכים בראשית וחוצים זה את זה, לכן $\;OA = OC = \dfrac{AC}{2} = 5$.

הקדקוד $A$ על החלק החיובי של ציר $x$, ולכן $\;A(5, 0)$.

הקדקוד $B$ על החלק החיובי של ציר $y$, נסמן $\;B(0, b)$ כאשר $b > 0$.

משוואת הישר $AB$ דרך חיתוכי הצירים $A(5,0)$ ו-$B(0,b)$: $\;\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{b} = 1$.

כופלים ב-$5b$ ומסדרים לצורה כללית: $\;bx + 5y - 5b = 0$.

נוסחת המרחק מ-$O(0,0)$ אל הישר: $\;d = \dfrac{|b \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 5b|}{\sqrt{b^2 + 5^2}}$.

מפשטים (זכרו $b > 0$): $\;d = \dfrac{5b}{\sqrt{b^2 + 25}}$.

משווים לנתון $d = \sqrt{5}$: $\;\dfrac{5b}{\sqrt{b^2 + 25}} = \sqrt{5}$.

מעלים בריבוע: $\;\dfrac{25b^2}{b^2 + 25} = 5$.

כופלים במכנה: $\;25b^2 = 5(b^2 + 25)$.

פותחים סוגריים: $\;25b^2 = 5b^2 + 125$.

מעבירים אגפים: $\;20b^2 = 125$.

מחלקים ב-$20$: $\;b^2 = 6.25$.

מפני ש-$b > 0$: $\;b = 2.5$, ולכן $B(0,\, 2.5)$.

שיפוע $AB$ דרך $A(5,0)$ ו-$B(0, 2.5)$: $\;m_{AB} = \dfrac{2.5 - 0}{0 - 5} = -\dfrac{1}{2}$.

משוואת הישר דרך $B(0, 2.5)$ בשיפוע $-\tfrac{1}{2}$: $\;y = -\dfrac{1}{2}x + 2.5$.

המעגל חסום במעוין ומשיק לכל ארבע צלעותיו.

מרכז המעגל החסום הוא מפגש האלכסונים — כלומר ראשית הצירים $O(0,0)$.

הרדיוס שווה למרחק מהמרכז אל צלע, שנתון: $\;R = \sqrt{5}$.

משוואת מעגל שמרכזו $O(0,0)$ ורדיוסו $R$: $\;x^2 + y^2 = R^2$.

מציבים $R = \sqrt{5}$: $\;x^2 + y^2 = 5$.

הנקודה $M$ היא נקודת ההשקה עם הצלע $AB$ שברביע הראשון.

רדיוס אל נקודת השקה מאונך למשיק, ולכן $\;OM \perp AB$.

שיפוע $AB$ הוא $-\tfrac{1}{2}$, ולכן שיפוע $OM$ מקיים $\;m_{OM} \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1$.

מבודדים: $\;m_{OM} = 2$.

הישר $OM$ עובר דרך הראשית בשיפוע $2$: $\;y = 2x$.

נקודת ההשקה על המעגל, נציב $y = 2x$ ב-$x^2 + y^2 = 5$: $\;x^2 + (2x)^2 = 5$.

מפשטים: $\;5x^2 = 5$.

מחלקים ב-$5$: $\;x^2 = 1$.

שני פתרונות: $\;x = 1$ או $x = -1$.

ברביע הראשון $x > 0$, לכן $x = 1$, ומהצבה $\;y = 2 \cdot 1 = 2$.

מורידים אנך מ-$M(1, 2)$ אל ציר $x$; הוא חותך אותו ב-$\;K(1, 0)$, כלומר $a = 1$.

לכן הישר $x = -a$ הוא הישר $\;x = -1$, ועליו נבחרת הנקודה $E$.

נסמן את הנקודה המבוקשת $\;G(x, y)$.

הישר דרך $E$ מקביל לציר $x$ ו-$G$ נמצאת עליו, ולכן ל-$E$ ול-$G$ אותו שיעור $y$, כלומר $\;E(-1,\, y)$.

המרחק האופקי בין $G(x, y)$ ל-$E(-1, y)$: $\;GE = |x - (-1)| = x + 1$.

הנקודה $G$ על האנך האמצעי של $EK$, ולכן היא במרחק שווה מקצות הקטע: $\;GE = GK$.

המרחק מ-$G(x, y)$ אל $K(1, 0)$: $\;GK = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.

משווים $GE = GK$: $\;x + 1 = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.

מעלים בריבוע: $\;(x + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$.

מפתחים את הריבועים: $\;x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$.

מצמצמים $x^2$ ואת $1$: $\;2x = -2x + y^2$.

מסדרים אגפים: $\;y^2 = 4x$.

זו משוואת פרבולה (מהצורה $y^2 = 2px$ עם $2p = 4$), ולכן המקום הגאומטרי של הנקודות $G$ נמצא על פרבולה.

הערה: $GE$ הוא המרחק מ-$G$ אל הישר $x = -1$ ו-$GK$ המרחק מ-$G$ אל $K(1,0)$, כך שהתנאי $GE = GK$ הוא בדיוק הגדרת הפרבולה שמוקדה $K(1,0)$ ומדריכהּ $x = -1$.

הנקודה $N$ על הפרבולה $y^2 = 4x$ ברביע הראשון, עם $x = 16$.

מציבים $x = 16$: $\;y^2 = 4 \cdot 16 = 64$.

ברביע הראשון $y > 0$, ולכן $\;y = 8$, כלומר $N(16, 8)$.

המעגל החסום ממורכז ב-$O(0,0)$ ורדיוסו $\sqrt{5}$; נחשב את המרחק בין המרכזים: $\;ON = \sqrt{16^2 + 8^2}$.

מפשטים: $\;ON = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$.

נסמן ב-$R$ את רדיוס המעגל שמרכזו $N$. יש שתי אפשרויות השקה למעגל החסום.

השקה חיצונית — מרחק המרכזים שווה לסכום הרדיוסים: $\;ON = R + \sqrt{5}$.

מציבים $ON = 8\sqrt{5}$ ומבודדים: $\;R = 8\sqrt{5} - \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.

מעלים בריבוע: $\;R^2 = (7\sqrt{5})^2 = 49 \cdot 5 = 245$.

משוואת המעגל הראשון (השקה חיצונית): $\;(x - 16)^2 + (y - 8)^2 = 245$.

השקה פנימית — המעגל החסום בתוך המעגל שמרכזו $N$, ומרחק המרכזים שווה להפרש הרדיוסים: $\;ON = R - \sqrt{5}$.

מציבים $ON = 8\sqrt{5}$ ומבודדים: $\;R = 8\sqrt{5} + \sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.

מעלים בריבוע: $\;R^2 = (9\sqrt{5})^2 = 81 \cdot 5 = 405$.

משוואת המעגל השני (השקה פנימית): $\;(x - 16)^2 + (y - 8)^2 = 405$.