קיץ 2024 · מועד ב

$F$ הוא אמצע $BC$, ולכן $\;\vec{BC} = 2\vec{BF}$.

מפרקים את $\vec{BF}$ דרך הקדקוד $S$: $\;\vec{BF} = \vec{BS} + \vec{SF}$.

מציבים $\vec{BS} = -\vec{w}$ ו-$\vec{SF} = \vec{v}$: $\;\vec{BF} = \vec{v} - \vec{w}$.

מכפילים ב-$2$: $\;\vec{BC} = 2\vec{v} - 2\vec{w}$.

$E$ מרכז הריבוע, כלומר אמצע האלכסון $DB$, ולכן $\;\vec{DB} = 2\vec{EB}$.

מפרקים את $\vec{EB}$ דרך $S$: $\;\vec{EB} = \vec{ES} + \vec{SB} = -\vec{u} + \vec{w}$.

מכאן $\;\vec{DB} = 2(-\vec{u} + \vec{w}) = -2\vec{u} + 2\vec{w}$.

מחברים לפי $\vec{DC} = \vec{DB} + \vec{BC}$: $\;\vec{DC} = (-2\vec{u} + 2\vec{w}) + (2\vec{v} - 2\vec{w})$.

מצמצמים את $2\vec{w}$: $\;\vec{DC} = 2\vec{v} - 2\vec{u}$.

הגובה $SE$ מאונך לבסיס, ולכן $\vec{u}$ מאונך לכל וקטור השוכן בבסיס.

הוקטורים $\vec{BC}$ ו-$\vec{DC}$ שוכנים בבסיס, ולכן $\;\vec{u} \cdot \vec{BC} = 0$ וגם $\vec{u} \cdot \vec{DC} = 0$.

מציבים $\vec{DC} = 2\vec{v} - 2\vec{u}$: $\;\vec{u} \cdot (2\vec{v} - 2\vec{u}) = 0$.

מפתחים: $\;2\,\vec{u} \cdot \vec{v} - 2\,\vec{u} \cdot \vec{u} = 0$.

זוכרים ש-$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 = 64$: $\;2\,\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 64$.

מכאן $\;\vec{u} \cdot \vec{v} = 64$.

מציבים $\vec{BC} = 2\vec{v} - 2\vec{w}$: $\;\vec{u} \cdot (2\vec{v} - 2\vec{w}) = 0$.

מפתחים: $\;2\,\vec{u} \cdot \vec{v} - 2\,\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$.

מכאן $\;\vec{u} \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

הצבנו $\vec{u} \cdot \vec{v} = 64$, ולכן $\;\vec{u} \cdot \vec{w} = 64$.

הזווית בין הישר $SB$ למישור הבסיס היא הזווית שבין $SB$ ובין היטלו על הבסיס.

הגובה $SE$ מאונך לבסיס, ולכן ההיטל של $S$ על הבסיס הוא $E$, וההיטל של $SB$ הוא $EB$.

הזווית המבוקשת היא $\angle SBE$ במשולש $SEB$, הישר-זווית ב-$E$.

אורך צלע הריבוע: $\;|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50}$.

אלכסון הריבוע גדול פי $\sqrt{2}$ מהצלע: $\;\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$.

$E$ מרכז הריבוע, ולכן $EB$ הוא חצי האלכסון: $\;EB = \dfrac{10}{2} = 5$.

הגובה נתון: $\;SE = |\vec{u}| = 8$.

לפי פיתגורס במשולש $SEB$: $\;SB = |\vec{w}| = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{89}$.

מחשבים את הזווית ב-$B$: $\;\tan(\angle SBE) = \dfrac{SE}{EB} = \dfrac{8}{5}$.

מכאן $\;\angle SBE = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{8}{5}\right) \approx 57.99°$.

נסמן את הנורמל למישור הבסיס $\;\vec{n} = (a, b, c)$.

המישור מקביל לציר $z$, ולכן הנורמל מאונך לכיוון ציר $z$: $\;\vec{n} \cdot (0, 0, 1) = 0$.

מכאן $\;c = 0$.

הוקטור $\vec{BA} = (-3, 4, 5)$ שוכן בבסיס, ולכן הנורמל מאונך לו: $\;\vec{n} \cdot (-3, 4, 5) = 0$.

מציבים: $\;-3a + 4b + 5c = 0$.

עם $c = 0$ נשאר: $\;-3a + 4b = 0$, כלומר $b = \dfrac{3a}{4}$.

בוחרים $a = 4$: $\;b = 3$, $\;c = 0$, ולכן $\vec{n} = (4, 3, 0)$.

משוואת המישור: $\;4x + 3y + 0 \cdot z + D = 0$.

מציבים את $E(0, 4, 5)$ שעל המישור: $\;4 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + D = 0$.

מבודדים: $\;D = -12$.

משוואת מישור הבסיס: $\;4x + 3y - 12 = 0$.

הקדקוד $B$ על מישור הבסיס; מציבים $x = 3$ במשוואה $4x + 3y - 12 = 0$: $\;12 + 3y - 12 = 0$.

מכאן $\;3y = 0$, כלומר $y = 0$.

לכן $\;B(3, 0, z)$.

המרחק ממרכז הריבוע אל הקדקוד הוא חצי האלכסון: $\;EB = 5$.

מרחק בין $E(0, 4, 5)$ ל-$B(3, 0, z)$: $\;\sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (z - 5)^2} = 5$.

מעלים בריבוע: $\;9 + 16 + (z - 5)^2 = 25$.

מפשטים: $\;25 + (z - 5)^2 = 25$.

מכאן $\;(z - 5)^2 = 0$, ולכן $z = 5$.

לכן $\;B(3, 0, 5)$.