דף נוסחאות

כל הנוסחאות של מתמטיקה 5 יח׳ במקום אחד, לפי נושא. 141 נוסחאות.

אלגברה

למסלול הלמידה
נוסחת השורשים
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
תקפה רק כשהמשוואה כתובה בצורה ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. אם יש איברים בשני האגפים — קודם מעבירים הכל לצד שמאל ומאפסים את הימני.
דיסקרימיננטה
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Δ>0\Delta > 0: שני שורשים. Δ=0\Delta = 0: שורש כפול. Δ<0\Delta < 0: אין פתרון ממשי.
סכום ומכפלת השורשים (וייטה)
x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \quad,\quad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
נוסחאות וייטה — חוסכות הרבה זמן בשאלות עם פרמטר, בלי לחשב את השורשים עצמם.
קודקוד פרבולה
xv=−b2a  ,  yv=f(xv)=c−b24ax_v = -\dfrac{b}{2a} \;,\; y_v = f(x_v) = c - \dfrac{b^2}{4a}
במקום לזכור את הנוסחה ל-yvy_v, אפשר תמיד להציב xvx_v ב-ff. הצורה האחרת: f(x)=a(x−xv)2+yvf(x) = a(x-x_v)^2 + y_v — "צורת הקודקוד".
נוסחאות הכפל המקוצר
(a+b)2=a2+2ab+b2  ,  (a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;,\; (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
מופיעות בכל שאלת השלמה לריבוע. זכור שיש איבר אמצעי של ±2ab\pm 2ab, ושכחה שלו היא הטעות הקבועה.
הפרש ריבועים
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
הזיהוי הכי שימושי בפירוק לגורמים — חוסך נוסחת שורשים שלמה כשהמשוואה היא הפרש ריבועים. דוגמה: 4x2−9=(2x−3)(2x+3)4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3).
הפרש וסכום קוביות
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)  ,  a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \;,\; a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
נדרשות לפירוק פולינומים ממעלה 3 ומעלה. בבגרות מופיעות בעיקר בחישוב גבולות ובפירוק לפני אינטגרל.
פתרון משוואת שורש
f(x)=g(x)  ⇒  f(x)=[g(x)]2,    g(x)≥0\sqrt{f(x)} = g(x) \;\Rightarrow\; f(x) = [g(x)]^2, \;\; g(x) \ge 0
אחרי ההעלאה בריבוע — תמיד מציבים חזרה ובודקים.
ערך מוחלט קטן מ-
∣x∣<a  ⟹  −a<x<a|x| < a \;\Longrightarrow\; -a < x < a
מתקבל קטע אחד רציף, והקשר עובד גם בכיוון ההפוך. עבור ≤\le הקצוות נכללים.
ערך מוחלט גדול מ-
∣x∣>a  ⟹  x<−a  ,  x>a|x| > a \;\Longrightarrow\; x < -a \;,\; x > a
מתקבלים שני קטעים נפרדים: x<−ax < -a או x>ax > a — לא לכתוב אותם כקטע אחד.

גיאומטריה אוקלידית

למסלול הלמידה
משפט פיתגורס
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
תקף רק למשולש ישר זווית. ההפוך גם נכון: אם a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, המשולש ישר זווית מול הצלע cc.
סכום זוויות במצולע
S=180°(n−2)S = 180°(n-2)
במשולש (n=3n=3): 180°180°. במרובע (n=4n=4): 360°360°. במצולע משוכלל, כל זווית =180°(n−2)n= \dfrac{180°(n-2)}{n}.
שטח משולש
S=12absin⁡CS = \dfrac{1}{2}ab\sin C
חלופה: S=12⋅S = \tfrac{1}{2} \cdot בסיס · גובה אליו. שימושית מאוד בבעיות שבהן יודעים שתי צלעות וזווית.
משפט תאלס
DE∥BC⇒ADDB=AEECDE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}
צורה שקולה עם השלמים: ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}.
משפט קו האמצעים
DE=12BC,DE∥BCDE = \tfrac{1}{2}BC, \quad DE \parallel BC
הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה לחצי אורכה.
משפט חוצה הזווית
BDDC=ABAC\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}
חוצה הזווית מחלק את הצלע הנגדית ביחס שתי הצלעות הסמוכות לזווית.
תיכון ליתר
CM=12ABCM = \tfrac12 AB
עובד גם הפוך: תיכון = מחצית הצלע ⇐ זווית ישרה מולה.
מפגש התיכונים
AM:MD=2:1AM : MD = 2 : 1
יחס דמיון ופרופורציה
ABDE=BCEF=CAFD=k\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD} = k
מהפרופורציה אפשר לחלץ כל צלע חסרה כשמכירים את האחרות.
דמיון משולשים — יחס שטחים
S1S2=k2\dfrac{S_1}{S_2} = k^2
מאוד שימושי: אם k=1:3k = 1:3, יחס שטחים = 1:91:9. הטעות הקלאסית — לשכוח לרבע.
זווית היקפית ומרכזית
∠1=12 ∠2\angle_1 = \tfrac{1}{2}\,\angle_2
מסקנה: היקפית על קוטר =90°= 90° (כי המרכזית של קוטר היא 180°180°).
מרובע חסום במעגל
∠A+∠C=180°  ,  ∠B+∠D=180°\angle A + \angle C = 180° \;,\; \angle B + \angle D = 180°
גם להפך: אם סכום זוויות נגדיות במרובע = 180°180°, הוא חסום במעגל.
מיתרים מצטלבים
AE⋅EB=CE⋅EDAE \cdot EB = CE \cdot ED
מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
משיק וחותך מנקודה חיצונית
PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB
לשני חותכים: PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD. PBPB תמיד המרחק לפגישה הרחוקה.

פונקציות

למסלול הלמידה
קודקוד פרבולה
xv=−b2a  ,  yv=f(xv)x_v = -\dfrac{b}{2a} \;,\; y_v = f(x_v)
הצורה האחרת: f(x)=a(x−xv)2+yvf(x) = a(x - x_v)^2 + y_v — צורת קודקוד.
תחום הגדרה — מכנה
P(x)Q(x)⇒Q(x)≠0\dfrac{P(x)}{Q(x)} \Rightarrow Q(x) \ne 0
מאפסים את המכנה ופוסלים את הערכים שמתקבלים.
תחום הגדרה — שורש ולוגריתם
g(x)⇒g(x)≥0  ,  ln⁡(g(x))⇒g(x)>0\sqrt{g(x)} \Rightarrow g(x) \ge 0 \;,\; \ln(g(x)) \Rightarrow g(x) > 0
הבדל קריטי: שורש מקבל ≥\ge (חלש), לוגריתם דורש >> (חזק ממש). ln⁡0\ln 0 לא מוגדר.
אסימפטוטה אופקית של פונקציה רציונלית
y=anbmy = \dfrac{a_n}{b_m}
תקפה רק כאשר deg(PP) = deg(QQ). deg(PP) < deg(QQ): y=0y = 0. deg(PP) > deg(QQ): אין אסימפטוטה אופקית.
פונקציה זוגית ואי-זוגית
f(−x)=f(x),f(−x)=−f(x)f(-x) = f(x) \quad,\quad f(-x) = -f(x)
זוגית: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) — סימטרית לציר yy. אי-זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) — סימטרית לראשית. רוב הפונקציות הן לא זוגיות ולא אי-זוגיות.
פונקציה הפכית
f(f−1(x))=x  ,  f−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = x \;,\; f^{-1}(f(x)) = x
הגרפים שיקופים זה של זה דרך הקו y=xy = x. תנאי הכרחי להפיכה: ff חד-חד-ערכית.
חוקי חזקות
ax+y=ax⋅ay  ,  axay=ax−y  ,  (ax)y=axya^{x+y} = a^x \cdot a^y \;,\; \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \;,\; (a^x)^y = a^{xy}
חזקה של מספר שלילי מותרת רק אם המעריך שלם.
חוקי לוגריתמים
log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y  ,  log⁡(xy)=log⁡x−log⁡y  ,  log⁡(xn)=nlog⁡x\log(xy) = \log x + \log y \;,\; \log\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log x - \log y \;,\; \log(x^n) = n\log x
תקפים לכל בסיס לוג חיובי שונה מ-1. דורש x,y>0x, y > 0.

חשבון דיפרנציאלי

למסלול הלמידה
כללי גזירה בסיסיים
(xn)′=nxn−1  ,  (ln⁡x)′=1x  ,  (ex)′=ex  ,  (sin⁡x)′=cos⁡x  ,  (cos⁡x)′=−sin⁡x(x^n)' = nx^{n-1} \;,\; (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \;,\; (e^x)' = e^x \;,\; (\sin x)' = \cos x \;,\; (\cos x)' = -\sin x
הבסיס לכל גזירה. תזכרו בעל-פה.
נגזרת של מכפלה
(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u' v + u v'
"ראשון × נגזרת של שני, ועוד נגזרת של ראשון × שני".
נגזרת של מנה
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}
הסדר חשוב: u′v−uv′u'v - uv' (לא הפוך!). v2v^2 במכנה.
כלל השרשרת
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
הקריטי ביותר. "גוזרים חיצוני × נגזרת של פנימי".
נגזרת של ביטוי הפוך
(1u)′=−u′u2\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}
מקרה פרטי של נגזרת מנה. שימושי לפונקציות כמו 1x2+1\dfrac{1}{x^2 + 1}.
משוואת המשיק
y−f(x0)=f′(x0)⋅(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)
צורת "נקודה-שיפוע". פותחים אחר כך ל-y=mx+ny = mx + n.

חשבון אינטגרלי

למסלול הלמידה
אינטגרל של חזקה
∫xn dx=xn+1n+1+C    (n≠−1)\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\;(n \ne -1)
מעלים את החזקה ב-1, מחלקים בחזקה החדשה. הכלל הכי שימושי.
אינטגרל של 1/x
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln \lvert x \rvert + C
מקרה מיוחד של ∫xn dx\int x^n\,dx כש-n=−1n = -1. שימו לב לערך מוחלט בלוג.
אינטגרלים של פונקציות אלמנטריות
∫ex dx=ex+C  ,  ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C  ,  ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int e^x\,dx = e^x + C \;,\; \int \sin x\,dx = -\cos x + C \;,\; \int \cos x\,dx = \sin x + C
הסימנים הפוכים מנגזרת! ב-sin⁡\sin יש מינוס באינטגרל, ב-cos⁡\cos אין.
אינטגרל עם הצבה לינארית
∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C\int f(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a} F(ax + b) + C
דוגמה: ∫cos⁡(3x) dx=13sin⁡(3x)+C\int \cos(3x)\,dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x) + C. ה-1a\dfrac{1}{a} הוא ה"תיקון".
נוסחת ניוטון-לייבניץ
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b
מציבים את הגבול העליון, מחסרים את הגבול התחתון. CC לא נדרש (מתבטל).
שטח בין שני גרפים
S=∫ab[g(x)−h(x)] dxS = \int_a^b [g(x) - h(x)]\,dx
עליון פחות תחתון. אם הגרפים מתחלפים — מפצלים את התחום.
נפח גוף סיבוב סביב ציר x
V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx
חובה לרבע! π\pi הוא בחוץ.

טריגונומטריה

למסלול הלמידה
זהות פיתגורס
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
נגזרות שימושיות: sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x, 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}. בכל שאלה שמכילה sin⁡2\sin^2 וגם cos⁡2\cos^2, השתמש בזהות להמיר אחד מהם.
נוסחאות סכום וחיסור
sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b
לקוסינוס: cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b (היפוך סימן באמצע!). שימושי גם להפיכה הפוכה: ביטוי כמו sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin a\cos b + \cos a\sin b = sin⁡(a+b)\sin(a+b).
נוסחאות כפל-זווית
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x  ,  cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\sin 2x = 2\sin x\cos x \;,\; \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
שלוש צורות לביטוי cos⁡2x\cos 2x: cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1\cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1. בחר את הצורה הנוחה לפי הזהויות שבמשוואה.
נוסחאות חצי-זווית (להורדת חזקה)
sin⁡2x=1−cos⁡2x2  ,  cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2} \;,\; \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}
חיוני לאינטגרציה של sin⁡2x\sin^2 x וגם cos⁡2x\cos^2 x. אי-אפשר אחרת. אלה הצורות ההפוכות של נוסחאות הכפל.
זוגיות ואי-זוגיות
f(−x)=f(x)  ,f(−x)=−f(x)f(-x) = f(x) \;,\qquad f(-x) = -f(x)
הקוסינוס זוגי, הסינוס אי-זוגי, ומכפלת שתי אי-זוגיות יוצאת זוגית.
צורת R·sin(x+φ)
asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)
מאפשר למצוא מקסימום וקיצון של asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x בקלות: max⁡=R\max = R, min⁡=−R\min = -R. מקסימום מתקבל כאשר x+φ=π/2x + \varphi = \pi/2, כלומר x=π/2−φx = \pi/2 - \varphi.
פתרון כללי לסינוס
sin⁡(x)=sin⁡(α)  ⇒  x=α+360°k  ,  x=180°−α+360°k\sin(x) = \sin(\alpha) \;\Rightarrow\; x = \alpha + 360°k \;,\; x = 180° - \alpha + 360°k
שתי משפחות. השנייה היא זו שנשכחת, והיא בדיוק חצי מהתשובות.
פתרון כללי לקוסינוס
cos⁡(x)=cos⁡(α)  ⇒  x=±α+360°k\cos(x) = \cos(\alpha) \;\Rightarrow\; x = \pm\alpha + 360°k
הקוסינוס סימטרי סביב הציר האופקי, ולכן שתי המשפחות נכתבות בסימן אחד עם פלוס-מינוס.
משפט הקוסינוסים
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha
לחילוץ זווית משלוש צלעות: cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. קוסינוס שלילי פירושו זווית קהה.
חילוץ זווית משלוש צלעות
cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
קוסינוס שלילי = זווית קהה. אין כאן בעיית שתי תשובות.
שטח משולש
S=12absin⁡γS = \frac12 ab\sin\gamma
לחילוץ זווית: sin⁡γ=2Sab\sin\gamma = \dfrac{2S}{ab}: שתי אפשרויות.
נגזרות טריגונומטריות
(sin⁡x)′=cos⁡x  ,  (cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x \;,\; (\cos x)' = -\sin x
(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}. עם שרשרת: (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u, (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u. שים לב — נגזרת cos⁡\cos עם מינוס.
אינטגרלים טריגונומטריים
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C  ,  ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C \;,\; \int \cos x\,dx = \sin x + C
עם פונקציה פנימית לינארית: ∫sin⁡(ax+b) dx=−1acos⁡(ax+b)+C\int \sin(ax+b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) + C. אינטגרל sin⁡x\sin x עם מינוס (היפוך לנגזרת).

פונקציה מעריכית

למסלול הלמידה
חוקי חזקות
ax+y=ax⋅ay  ,  axay=ax−y  ,  (ax)y=axya^{x+y} = a^x \cdot a^y \;,\; \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \;,\; (a^x)^y = a^{xy}
הכלים שמאפשרים לאחד או לפצל ביטויים מעריכיים.
הקשר axa^x ו-exe^x
ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}
שימושי כשרוצים לאחד כל מעריכי ל-ee.
לקיחת לוגריתם
ax=c  (c>0)  ⟹  x=ln⁡cln⁡aa^x = c \;(c > 0) \;\Longrightarrow\; x = \frac{\ln c}{\ln a}
מקרה פרטי: ex=c⇒x=ln⁡ce^x = c \Rightarrow x = \ln c.
נגזרת מעריכית
(ex)′=ex  ,  (eg(x))′=g′(x)⋅eg(x)(e^x)' = e^x \;,\; (e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}
הכי קריטי: לא לשכוח את כלל השרשרת ב-eg(x)e^{g(x)}.
נגזרת בסיס כללי
(ax)′=ax⋅ln⁡a(a^x)' = a^x \cdot \ln a
מקרה פרטי: (ex)′=ex⋅ln⁡e=ex⋅1=ex(e^x)' = e^x \cdot \ln e = e^x \cdot 1 = e^x.
כלל מכפלה עם exe^x
(p(x)⋅eg(x))′=eg(x)[p′(x)+p(x)⋅g′(x)]\bigl(p(x) \cdot e^{g(x)}\bigr)' = e^{g(x)}\bigl[p'(x) + p(x) \cdot g'(x)\bigr]
בא לידי ביטוי אחרי הוצאת eg(x)e^{g(x)} כגורם משותף — וזה התרגיל הסטנדרטי בבגרות.
הצבה ריבועית מעריכית
e2x+Aex+B=0  →t=ex  t2+At+B=0,  t>0e^{2x} + Ae^x + B = 0 \;\xrightarrow{t = e^x}\; t^2 + At + B = 0,\; t > 0
אחרי פתרון tt, חזור: ex=t⇒x=ln⁡te^x = t \Rightarrow x = \ln t. ערכים שליליים של tt — נפסלים.
אינטגרל מעריכי
∫exdx=ex+C  ,  ∫eax+bdx=1aeax+b+C\int e^x dx = e^x + C \;,\; \int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C
פונקציה קדומה זהה לפונקציה — חלקי המקדם של xx.
אינטגרל בהצבה
∫g′(x)⋅eg(x) dx=eg(x)+C\int g'(x) \cdot e^{g(x)}\,dx = e^{g(x)} + C
זהו "פתרון בהצבה t=g(x)t = g(x)" באריזה קומפקטית.

גדילה ודעיכה

למסלול הלמידה
מודל גדילה ודעיכה
N(t)=N0⋅ektN(t) = N_0 \cdot e^{kt}
גם בריבית מצטברת רציפה: A=P⋅ertA = P \cdot e^{rt} כאשר rr ריבית שנתית.
מציאת קצב kk משתי נקודות
k=ln⁡(N2/N1)t2−t1k = \dfrac{\ln(N_2 / N_1)}{t_2 - t_1}
מתקבל מחלוקת שתי משוואות המודל זו בזו (מבטל את N0N_0).
מציאת הזמן
t=1kln⁡ ⁣(NN0)t = \dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{N}{N_0}\right)
מבודדים את ekte^{kt}, לוקחים ln⁡\ln, ומחלקים ב-kk.
חצי-חיים
T1/2=−ln⁡2kT_{1/2} = -\dfrac{\ln 2}{k}
גזירה: N(T)=N0/2N(T) = N_0/2 נותן ekT=1/2e^{kT} = 1/2, ולכן kT=−ln⁡2kT = -\ln 2.
ריבית רציפה
A(t)=A0ertA(t) = A_0 e^{rt}
זמן הכפלה: t=ln⁡2rt = \dfrac{\ln 2}{r}.
חוק הצינון של ניוטון
T(t)=Ts+(T0−Ts)ektT(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}
מבודדים את T(t)−TsT(t) - T_s ואז לוקחים ln⁡\ln.

פונקציית ln

למסלול הלמידה
חוקי לוגריתם
ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡y  ,  ln⁡(x/y)=ln⁡x−ln⁡y  ,  ln⁡(xn)=nln⁡x\ln(xy) = \ln x + \ln y \;,\; \ln(x/y) = \ln x - \ln y \;,\; \ln(x^n) = n \ln x
תקפים רק לארגומנטים חיוביים. ln⁡(x+y)≠ln⁡x+ln⁡y\ln(x+y) \ne \ln x + \ln y!
הקשר ln⁡\ln-מעריכי
ln⁡(ex)=x  ,  eln⁡x=x\ln(e^x) = x \;,\; e^{\ln x} = x
פונקציות הפוכות — "מבטלות" זו את זו.
שינוי בסיס
log⁡ab=ln⁡bln⁡a\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}
שימושי כשצריך לחשב לוג בבסיס שלא ee.
עליה ל-ee
ln⁡(g(x))=c  ⟹  g(x)=ec\ln(g(x)) = c \;\Longrightarrow\; g(x) = e^c
הצעד הסופי בכל משוואה לוגריתמית. תמיד לבדוק תחום.
הצבה ריבועית
(ln⁡x)2+Aln⁡x+B=0  →t=ln⁡x  t2+At+B=0(\ln x)^2 + A\ln x + B = 0 \;\xrightarrow{t = \ln x}\; t^2 + At + B = 0
בניגוד להצבת t=ext = e^x, כאן t=ln⁡xt = \ln x יכול להיות שלילי. אין צורך לפסול פתרונות.
נגזרת לוגריתם
(ln⁡x)′=1x  ,  (ln⁡g(x))′=g′(x)g(x)(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \;,\; (\ln g(x))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}
הכי שימושי בחקירת פונקציות. בתחום ההגדרה g(x)>0g(x) > 0, אז המכנה לעולם לא 0.
אינטגרל 1/x1/x
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C
ערך מוחלט הכרחי לאפשר x<0x < 0 באינטגרל.
אינטגרל u′(x)/g(x)u'(x)/g(x)
∫g′(x)g(x)dx=ln⁡∣g(x)∣+C\int \dfrac{g'(x)}{g(x)} dx = \ln|g(x)| + C
הזיהוי המהיר: מונה = נגזרת המכנה.
אינטגרל ln⁡x\ln x עצמו
∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
בחלקים: u=ln⁡xu = \ln x, dv=dxdv = dx ← du=dx/xdu = dx/x, v=xv = x.
גבולות שלעולם לא תשכחו
lim⁡x→0+xln⁡x=0,lim⁡x→∞ln⁡xxn=0  (n>0)\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0,\quad \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\;(n > 0)
תוצאות אלו פותרות "התנגשויות 0⋅∞0 \cdot \infty" בבגרות.

סדרות

למסלול הלמידה
איבר כללי — חשבונית
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d
ניתן גם: an=am+(n−m)da_n = a_m + (n-m)d, מאיבר כלשהו ama_m.
סכום nn איברים
Sn=n(a1+an)2=n(2a1+(n−1)d)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}
הפרש משני איברים
d=ak−amk−md = \frac{a_k - a_m}{k - m}
ממוצע חשבוני
b=a+c2b = \frac{a + c}{2}
כלל נסיגה — סדרה חשבונית
an+1=an+da_{n+1} = a_n + d
יחד עם a1a_1 נתון. שקול לנוסחה המפורשת an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d.
איברים סימטריים
am−k+am+k=2ama_{m-k} + a_{m+k} = 2a_m
למשל a3+a7=2a5a_3 + a_7 = 2a_5.
מהסכום אל האיבר
an=Sn−Sn−1,a1=S1a_n = S_n - S_{n-1}, \qquad a_1 = S_1
סכום האיברים מהמקום pp עד המקום rr
(r−p+1)(ap+ar)2=Sr−Sp−1\frac{(r-p+1)(a_p + a_r)}{2} = S_r - S_{p-1}
איבר כללי — הנדסית
an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
ניתן גם: an=am⋅qn−ma_n = a_m \cdot q^{n-m}, מאיבר mm.
סכום nn איברים — הנדסית
Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
עבור q=1q = 1: Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1. עבור ∣q∣<1|q| < 1 וגם n→∞n \to \infty: S∞=a11−qS_\infty = \dfrac{a_1}{1-q}.
מנה משני איברים
akam=q k−m\frac{a_k}{a_m} = q^{\,k-m}
ממוצע הנדסי
b2=a⋅cb^2 = a \cdot c
כלל נסיגה — סדרה הנדסית
an+1=q⋅ana_{n+1} = q \cdot a_n
תנאי התכנסות
∣q∣<1|q| < 1
סכום אינסופי — הנדסית מתכנסת
S∞=a11−q(∣q∣<1)S_\infty = \frac{a_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)
אם ∣q∣≥1|q| \ge 1, הסדרה מתבדרת, אין סכום אינסופי.
ריבית דריבית (צמיחה הנדסית)
A=P⋅(1+r)nA = P \cdot (1 + r)^n
זוהי סדרה הנדסית עם מנה q=1+rq = 1 + r.
עקרון האינדוקציה
n=1    +    (n=k  ⟹  n=k+1)n = 1 \;\;+\;\; \big(n = k \;\Longrightarrow\; n = k+1\big)
שני השלבים יחד, בסיס וצעד, נותנים שהטענה נכונה לכל nn טבעי. כל אחד לבדו אינו מספיק.
סכום המספרים הטבעיים
1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}
הזהות הנפוצה ביותר להוכחה באינדוקציה.
סכום ריבועים
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

הסתברות

למסלול הלמידה
הסתברות — מה שרוצים חלקי כל האופציות
P=knP = \frac{k}{n}
מה שרוצים חלקי כל האופציות. תמיד 0≤P≤10 \le P \le 1.
"וגם", כפל; "או", חיבור
P(A∩B)=P(A)⋅P(B),P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B)
מאורע משלים
P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)
"לפחות אחד" = 11 פחות ההסתברות ל"אף אחד".
הסתברות מותנית
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
עצמאות: P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B).
נוסחת ברנולי
P(k)=(nk) pk (1−p) n−kP(k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1-p)^{\,n-k}
(nk)\binom{n}{k} = nCr במחשבון; (n0)=(nn)=1\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, (n1)=n\binom{n}{1} = n.

גאומטריה אנליטית

למסלול הלמידה
מרחק בין שתי נקודות
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
פיתגורס במישור — הבסיס לנוסחת מעגל.
שיפוע
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
ישרים מקבילים: m1=m2m_1 = m_2. ניצבים: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.
מרחק מנקודה לישר
d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
חובה לכתוב את הישר בצורה ax+by+c=0ax + by + c = 0 לפני ההצבה.
משוואת מעגל
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
לבדיקה שנקודה על המעגל — הצב ובדוק שהצד השמאל שווה r2r^2.
משיק בנקודה (מעגל סביב הראשית)
x⋅x0+y⋅y0=r2x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2
תוצאה ישירה של "החלפת ריבוע במכפלה" — שווה לזכור.
פרבולה קנונית
y2=2pxy^2 = 2px
מוקד (p/2,0)(p/2, 0), מדריך x=−p/2x = -p/2. המקדם של xx הוא 2p2p. הקונבנציה בשאלון 582.
משיק לפרבולה
y⋅y1=p(x+x1)y \cdot y_1 = p(x + x_1)
לצורה y2=2pxy^2 = 2px. מקבילה לנוסחת המשיק xx0+yy0=r2xx_0 + yy_0 = r^2 של המעגל.
אליפסה קנונית
x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
אם a>ba > b — מוקדים על ציר xx. אם b>ab > a — על ציר yy.
מוקדים
c2=a2−b2,F1,2=(±c,0)c^2 = a^2 - b^2,\quad F_{1,2} = (\pm c, 0)
תמיד c≤ac \le a. במעגל c=0c = 0 (המוקדים מתאחדים במרכז).
אקסצנטריות
e=cae = \frac{c}{a}
מודדת כמה האליפסה מוארכת. במעגל e=0e = 0.
משולש המוקדים
P△=2a+2c,Smax⁡=c bP_{\triangle} = 2a + 2c,\quad S_{\max} = c\,b
היקף קבוע לכל נקודה על האליפסה; שטח מרבי בקצה הציר הקטן.

וקטורים במרחב

למסלול הלמידה
וקטור בין שתי נקודות
AB⃗=B−A=(xB−xA, yB−yA, zB−zA)\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A,\, y_B - y_A,\, z_B - z_A)
הכלי הראשון בכל שאלה. תמיד B−AB - A (לא A−BA - B).
אורך וקטור
∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}
הכללה של פיתגורס ל-3 ממדים.
מכפלה סקלרית
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 אם ורק אם ניצבים.
זווית בין וקטורים
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}
אם cos⁡θ=0\cos\theta = 0 ← ניצבות. cos⁡θ=1\cos\theta = 1 ← מקבילים אותו כיוון.
מכפלה וקטורית
a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2,  a3b1−a1b3,  a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1)
∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta — שטח מקבילית.
שטח משולש
S△ABC=12∣AB⃗×AC⃗∣S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|
הדרך הסטנדרטית לחישוב שטח משולש במרחב — אין צורך בחישוב גובה.
ישר פרמטרי במרחב
X=P+tv⃗  ⟹  {x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3X = P + t\vec{v} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}
כל ערך של tt נותן נקודה אחרת על הישר.
מישור — צורה כללית
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0  ⟹  ax+by+cz=da(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\;\Longrightarrow\;ax + by + cz = d
d=ax0+by0+cz0d = ax_0 + by_0 + cz_0. תמיד נורמלים מפתח של המישור.
מרחק נקודה-מישור
d(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2d(P, \pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
הנוסחה החשובה ביותר בנושא. נקודה במישור ← d=0d = 0.
זווית ישר-מישור
sin⁡θ=∣v⃗⋅n⃗∣∣v⃗∣ ∣n⃗∣\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}
sin⁡\sin ולא cos⁡\cos — הזווית עם המישור היא משלימת הזווית עם הנורמל.

מספרים מרוכבים

למסלול הלמידה
גודל וארגומנט
∣z∣=a2+b2,tan⁡θ=ba|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan\theta = \frac{b}{a}
תמיד לזהות באיזה רבע של מישור גאוס נמצא zz לפני שמכריזים על θ\theta.
מכפלת צמודים
z⋅zˉ=∣z∣2=a2+b2z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2
משמשים לחישוב חילוק: z1z2=z1z2ˉ∣z2∣2\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}.
הצגה קוטבית
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
משפט דה-מואבר
[r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))
תקף גם לחזקות שליליות (זה הופך את rr ל-1/r1/r ו-θ\theta ל-−θ-\theta).
נוסחת השורש ה-nn-י
zk=rn(cos⁡θ+360°kn+isin⁡θ+360°kn)z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 360°k}{n} + i\sin\frac{\theta + 360°k}{n}\right)
כל ערך של kk נותן שורש שונה. k=nk=n יחזיר את אותו z0z_0.
שורשי zn=1z^n = 1
zk=cos⁡360°kn+isin⁡360°kn,k=0,1,…,n−1z_k = \cos\frac{360°k}{n} + i\sin\frac{360°k}{n}, \quad k=0,1,\ldots,n-1
nn שורשי יחידה ממוקמים על מעגל היחידה, מחולקים שווה.
שורש ריבועי של ww מרוכב
w=a+bi  ⟹  (a+bi)2=w\sqrt{w} = a + bi \;\Longrightarrow\; (a+bi)^2 = w
ריבוע ופתיחה: a2−b2=Re(w)a^2 - b^2 = \text{Re}(w), 2ab=Im(w)2ab = \text{Im}(w). שניתן לפתור על-ידי חילוץ aa מהשנייה והצבה בראשונה.
נוסחת השורשים — עם Δ\Delta שלילי
z=−b±i∣Δ∣2a,Δ=b2−4ac<0z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac < 0
אותה נוסחה הרגילה — רק ש-Δ=i∣Δ∣\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|} כש-Δ<0\Delta < 0.
משפט וייטה
z1+z2=−ba,z1⋅z2=caz_1 + z_2 = -\frac{b}{a}, \quad z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}
כשהמקדמים ממשיים מתקיים z2=z1ˉz_2 = \bar{z_1}, ולכן המכפלה שווה ל-∣z1∣2|z_1|^2 וגם ל-c/ac/a, ואפשר לקרוא את ריבוע הגודל ישירות מהמקדמים.
מרחק במישור גאוס
∣z−z0∣=(x−x0)2+(y−y0)2|z - z_0| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}
משוואת מעגל
∣z−z0∣=r  ⟹  (x−x0)2+(y−y0)2=r2|z - z_0| = r \;\Longrightarrow\; (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

סטטיסטיקה

למסלול הלמידה
ממוצע וסטיית תקן
xˉ=∑xin  ,  σ=∑(xi−xˉ)2n\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \;,\; \sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
שונות: σ2=∑(xi−xˉ)2n\sigma^2 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}.
ציון תקן
Z=x−μσZ = \frac{x - \mu}{\sigma}
x=μ+Zσx = \mu + Z\sigma — החזרה מ-ZZ ל-xx.