קיץ 2023 · מועד א

$\lim_{x\to\infty}\left[(e^x-1)^n - 4\right] = \infty$ — אין אסימפטוטה מימין

$n$ זוגי: $\;(-1)^n - 4 = 1 - 4 = -3 \Rightarrow y = -3$

$n$ אי-זוגי: $\;(-1)^n - 4 = -1 - 4 = -5 \Rightarrow y = -5$

נגזור עם כלל השרשרת: $\;f'(x) = n(e^x-1)^{n-1}\cdot e^x$

נאפס את הנגזרת: $\;n e^x (e^x-1)^{n-1} = 0$

הגורם $n e^x$ חיובי תמיד, ולכן $(e^x-1)^{n-1} = 0$

שיעור ה-$y$: $\;f(0) = (e^0-1)^n - 4 = -4$, ולכן נקודת החשד היחידה היא $(0,-4)$

הסימן של $f'$ נקבע על ידי $(e^x-1)^{n-1}$ (כי $n e^x > 0$), והוא תלוי בזוגיות $n$:

עבור $n$ זוגי — $n-1$ אי-זוגי, ולכן $(e^x-1)^{n-1}$ באותו סימן של $e^x-1$ (שלילי מתחת ל-$x=0$, חיובי מעליו):

$f'$ עובר מ-$(-)$ ל-$(+)$ ב-$x=0$, ולכן יש שם מינימום: $(0,-4)$

עבור $n$ אי-זוגי — $n-1$ זוגי, ולכן $(e^x-1)^{n-1} \ge 0$ לכל $x$ (חזקה זוגית):

$f'$ אינו מחליף סימן (חיובי משני הצדדים), ולכן אין נקודת קיצון — $(0,-4)$ היא נקודת פיתול אופקית

$n$ זוגי: אסימפטוטה $y=-3$ משמאל, ירידה למינימום $(0,-4)$, ואז עלייה לאינסוף

$n$ אי-זוגי: אסימפטוטה $y=-5$ משמאל, עלייה דרך נקודת הפיתול $(0,-4)$ לאינסוף

הצבה $t = e^x$: $\;t^2 - 8t + 7 = 0$

$(t-7)(t-1) = 0 \Rightarrow t = 7$ או $t = 1$

$g$ מעל $f$ בתחום $[0, \ln 7]$ (ב-$x=1$: $g\approx 6.31 > f\approx -1.05$)

ל-$f$ מינימום $(0,-4)$ עם $f<0$ ← ב-$h$ זו נקודת מקסימום $(0, 4)$

$e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3$ (הפתרון $e^x = -1$ נפסל)

ב-$x = \ln 3$ הגרף נוגע בציר $x$ ← ב-$h$ נקודת מינימום $(\ln 3, 0)$

$h$: אסימפטוטה $y=3$ משמאל, עלייה למקסימום $(0,4)$, ירידה למינימום $(\ln 3, 0)$, עלייה לאינסוף

הענף השמאלי נע בין $3$ ל-$4$ — נחתך רק עבור $k > 3$

הענף היורד נע בין $0$ ל-$4$, והענף הימני עולה מ-$0$ — נחתכים גם הם, ובלבד ש-$k < 4$

שלושת הענפים נחתכים יחד כאשר $3 < k < 4$