קיץ 2026 · מועד א

נשווה את הפרבולה לצורה הכללית $y^2 = 2px$. מ-$y^2 = 54x$ נובע $2p = 54$, ולכן $p = 27$. שימו לב: $2p = 54$ ולא $p = 54$ — טעות נפוצה כאן היא לשכוח את ה-$2$.

משוואת המשיק לפרבולה בנקודת השקה $(x_0, y_0)$ היא $\;y\,y_0 = p(x + x_0)$. נשתמש בה כדי לחלץ את השיפוע.

נבודד $y$ כדי לראות את השיפוע: $\;y = \dfrac{p}{y_0}\,x + \dfrac{p\,x_0}{y_0}$. המקדם של $x$ הוא השיפוע, ולכן שיפוע המשיק הוא $\dfrac{p}{y_0}$.

נציב את השיפוע הנתון ואת $p = 27$ (עם $y_0 = y_A$): $\;\dfrac{27}{y_A} = \dfrac{3}{4}$.

נפתור במכפלה בהצלבה: $\;3\,y_A = 27 \cdot 4 = 108$, ולכן $\;y_A = 36$.

הנקודה $A$ נמצאת על הפרבולה, לכן נציב $y_A = 36$ ב-$y^2 = 54x$: $\;36^2 = 54\,x_A$, כלומר $\;1296 = 54\,x_A$.

נבודד את $x_A$: $\;x_A = \dfrac{1296}{54} = 24$.

במעגל, הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק באותה נקודה. המשיק נוגע במעגל בנקודה $A$, ולכן הרדיוס $MA$ מאונך למשיק.

שיפוע המשיק נתון, $\dfrac{3}{4}$. תנאי הניצבות בין $AM$ למשיק: $\;m_{AM} \cdot \dfrac{3}{4} = -1$.

נבודד את שיפוע $AM$: $\;m_{AM} = -\dfrac{4}{3}$.

נכתוב משוואת ישר דרך $A(24, 36)$ בשיפוע $-\dfrac{4}{3}$: $\;y - 36 = -\dfrac{4}{3}(x - 24)$.

נפתח את הסוגריים: $\;y - 36 = -\dfrac{4}{3}x + 32$ (כי $-\dfrac{4}{3} \cdot (-24) = 32$).

נסדר לצורת $y = mx + b$: $\;y = -\dfrac{4}{3}x + 68$.

המעגל משיק לציר ה-$y$, ולכן המרחק ממרכזו $M$ אל הציר שווה לרדיוס. המרחק מ-$M(x_M, y_M)$ אל ציר ה-$y$ (הישר $x = 0$) הוא $|x_M|$, ולכן $\;|x_M| = R$.

הנקודה $A$ ברביע הראשון והמעגל עובר דרכה, לכן המרכז נמצא מימין לציר ה-$y$, כלומר $x_M > 0$. מכאן $\;x_M = R$.

המרכז $M$ מונח על הישר $AM$: $\;y = -\dfrac{4}{3}x + 68$. נציב $x_M = R$ ונקבל $\;y_M = -\dfrac{4}{3}R + 68$, כלומר $\;M\left(R,\ -\dfrac{4}{3}R + 68\right)$.

המרחק $MA$ שווה לרדיוס $R$. לפי נוסחת המרחק בין $M$ ל-$A(24, 36)$: $\;MA^2 = (R - 24)^2 + \left(-\dfrac{4}{3}R + 68 - 36\right)^2 = R^2$.

נפשט את הסוגר השני, $\;-\dfrac{4}{3}R + 32$, ונקבל: $\;(R - 24)^2 + \left(-\dfrac{4}{3}R + 32\right)^2 = R^2$.

נפתח את הריבועים: $\;(R^2 - 48R + 576) + \left(\dfrac{16}{9}R^2 - \dfrac{256}{3}R + 1024\right) = R^2$.

נצמצם $R^2$ משני האגפים ונכנס איברים דומים: $\;\dfrac{16}{9}R^2 - \dfrac{400}{3}R + 1600 = 0$.

נכפול ב-$\dfrac{9}{16}$ כדי לפשט למקדמים נוחים: $\;R^2 - 75R + 900 = 0$.

נפתור את המשוואה הריבועית: $\;R = \dfrac{75 \pm \sqrt{75^2 - 4 \cdot 900}}{2} = \dfrac{75 \pm \sqrt{2025}}{2} = \dfrac{75 \pm 45}{2}$.

מתקבלים שני פתרונות: $\;R = 60$ או $\;R = 15$.

נזכור ש-$x_M = R$ וחייב $x_M < x_A = 24$. הפתרון $R = 60$ נותן $x_M = 60 > 24$ ולכן נפסל — זו נקודת המפתח שבה קל להיתקע. נשאר $\;R = 15$.

נחשב את $y_M$: $\;y_M = -\dfrac{4}{3} \cdot 15 + 68 = -20 + 68 = 48$. לכן $\;M(15,\ 48)$.

נציב במשוואת מעגל $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = R^2$: $\;(x - 15)^2 + (y - 48)^2 = 225$.

המשיק למעגל בנקודה $B$ מאונך לרדיוס $MB$, ולכן המשולש $MBP$ ישר-זווית בקודקוד $B$.

לפי משפט פיתגורס במשולש $MBP$: $\;MP^2 = MB^2 + BP^2$.

$MB$ הוא רדיוס המעגל, כלומר $MB = R = 15$; ונתון $BP = 36$. נציב: $\;MP^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$.

נוציא שורש: $\;MP = \sqrt{1521} = 39$.

הערך $MP = 39$ אינו תלוי במיקום של $B$ — הוא יוצא זהה לכל בחירה של $B$ על המעגל. לכן, כש-$B$ נעה על המעגל, הנקודה $P$ שומרת מרחק קבוע $39$ מ-$M$.

אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-$M(15, 48)$ שווה ל-$39$ הוא מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו $39$: $\;(x - 15)^2 + (y - 48)^2 = 39^2$.

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו $39$ (מסעיף ג1).

המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא אורך הקוטר — המיתר העובר דרך המרכז. כל מיתר אחר קצר ממנו.

אורך הקוטר: $\;2R = 2 \cdot 39 = 78$.

המרחק המבוקש, $80$, גדול מהקוטר $78$: $\;80 > 78$. מכיוון שאין שתי נקודות על מעגל שמרחקן גדול מהקוטר, לא ייתכן מרחק $80$.