רשימת משפטים בגאומטריה

סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$.

זוויות קודקודיות שוות זו לזו.

ישר החותך שני ישרים מקבילים יוצר זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות, וזוויות חד-צדדיות שסכומן $180^\circ$.

שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה.

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$.

זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

סכום הזוויות במצולע קמור בעל $n$ צלעות הוא $(n-2)\cdot180^\circ$.

במשולש, מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר.

אי-שוויון המשולש: סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.

צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן שוות בהתאמה: המשולשים חופפים.

ז.צ.ז — צלע ושתי הזוויות שלידה שוות בהתאמה: המשולשים חופפים.

צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה: המשולשים חופפים.

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן שוות בהתאמה: המשולשים חופפים.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.

משולש שבו שניים מבין הקטעים חוצה זווית, תיכון וגובה (מאותו קודקוד) מתלכדים — הוא שווה שוקיים.

במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות $60^\circ$.

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית $a^2+b^2=c^2$, כאשר $c$ היתר.

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

במשולש ישר זווית שבו זווית של $30^\circ$, הניצב שמולה שווה למחצית היתר.

קטע אמצעים במשולש (המחבר אמצעי שתי צלעות) מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע שנייה — חוצה את הצלע השלישית.

קטע אמצעים בטרפז (המחבר אמצעי השוקיים) מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

ישר היוצא מאמצע שוק בטרפז ומקביל לבסיסים — חוצה את השוק השנייה.

במקבילית: כל שתי צלעות נגדיות שוות, כל שתי זוויות נגדיות שוות, והאלכסונים חוצים זה את זה.

מרובע הוא מקבילית אם מתקיים אחד מאלה: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות; שני זוגות צלעות נגדיות שוות; זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות; האלכסונים חוצים זה את זה; שני זוגות זוויות נגדיות שוות.

במלבן כל הזוויות ישרות והאלכסונים שווים.

במעוין כל הצלעות שוות, האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין.

ריבוע הוא מלבן שהוא גם מעוין, ולכן מתקיימות בו כל תכונותיהם.

בדלתון, האלכסון הראשי (המחבר את קודקודי הראש) חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים.

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית.

שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת — מרכז המעגל החוסם את המשולש.

שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת — מרכז המעגל החסום במשולש.

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המחלקת כל תיכון כך שהחלק הסמוך לקודקוד גדול פי 2 מהחלק השני.

במשולש ישר זווית, מרכז המעגל החוסם נמצא באמצע היתר.

משפט תאלס: ישרים מקבילים החותכים את שוקי זווית מקצים על השוקיים קטעים פרופורציוניים.

משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לצלע במשולש חותך את שתי הצלעות האחרות ויוצר משולש שצלעותיו פרופורציוניות לצלעות המשולש המקורי.

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

משפטי דמיון: ז.ז (שתי זוויות שוות), צ.ז.צ (שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה), צ.צ.צ (שלוש צלעות פרופורציוניות).

במשולשים דומים: יחס ההיקפים, וכן יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים — שווה ליחס הדמיון.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

במשולש ישר זווית, הגובה ליתר יוצר שני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש כולו. אם הגובה $h$ מחלק את היתר $c$ לקטעים $p$ ו-$q$ (הסמוכים לניצבים $a$ ו-$b$ בהתאמה): $h^2=p\cdot q$, $a^2=c\cdot p$, $b^2=c\cdot q$.

במעגל, לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות ומיתרים שווים — וכל אחד מהשלושה גורר את שני האחרים.

מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחק שווה מהמרכז.

האנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר ואת הקשת שלו.

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת, או על קשתות שוות, שוות זו לזו.

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.

במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא $180^\circ$.

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה: קטעי המשיקים שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית שבין המשיקים.

הזווית שבין משיק למיתר היוצא מנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני.

זווית שקודקודה בתוך המעגל (בין שני מיתרים) שווה למחצית סכום הקשת שהיא נשענת עליה והקשת שהזווית הקודקודית לה נשענת עליה.

זווית שקודקודה מחוץ למעגל (בין שני חותכים, חותך ומשיק, או שני משיקים) שווה למחצית הפרש הקשתות הכלואות בין שוקיה.

במרובע החוסם מעגל, סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים.

שני מיתרים הנחתכים בנקודה $E$ בתוך המעגל: $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

מנקודה $A$ מחוץ למעגל יוצאים חותכים $ABC$ ו-$ADE$ ומשיק $AF$: $AB\cdot AC=AD\cdot AE=AF^2$.

שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה אליה.

משולשים בעלי בסיס משותף (או בסיסים שווים) וגבהים שווים — שווים בשטחם.

תיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח.

שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה אליה; שטח טרפז שווה למחצית סכום הבסיסים כפול הגובה; שטח מעוין או דלתון שווה למחצית מכפלת האלכסונים.