דף סיכום · שאלון 571

טריגונומטריה במישור

שלושה כלים למשולש: סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר זווית, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים, ונוסחה אחת לשטח. הכול במעלות. העיקר בבגרות הוא לבחור את הכלי הנכון לנתונים.

משולש ישר זווית

חשוב לדעת

סינוס, קוסינוס וטנגנס

ביחס לזווית החדה $\alpha$ :

סינוס = הניצב שמול הזווית חלקי היתר: $\sin(\alpha) = \dfrac{BC}{AB}$
קוסינוס = הניצב שליד הזווית חלקי היתר: $\cos(\alpha) = \dfrac{AC}{AB}$
טנגנס = הניצב שמול חלקי הניצב שליד: $\tan(\alpha) = \dfrac{BC}{AC}$

חשוב לדעת

שלוש הזוויות המיוחדות

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
סינוס	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
קוסינוס	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
טנגנס	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

טיפ

זווית מתוך יחס

כשידועות שתי צלעות, מוצאים את היחס ואז את הזווית בכפתור ההפוך במחשבון (SHIFT ואחריו sin, cos או tan).

ובכל משולש: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$ ואילו $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ .

משפט הסינוסים

חשוב לדעת

הנוסחה

הצלע $a$ נמצאת מול הזווית $\alpha$ , הצלע $b$ מול $\beta$ , והצלע $c$ מול $\gamma$ . הרדיוס $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R

טיפ

מתי משתמשים

כשיש זוג: צלע והזווית שמולה, ועוד נתון אחד (צלע או זווית).

וכל פעם שהשאלה מזכירה את המעגל החוסם, משפט הסינוסים הוא הדרך לרדיוס.

מלכודת

שתי זוויות מאותו סינוס

מהמשוואה $\sin(\alpha) = 0.5$ יוצא $\alpha = 30^\circ$ או $\alpha = 150^\circ$ .

בודקים כל אחת: סכום הזוויות במשולש חייב להיות קטן מהזווית $180^\circ$ , ומול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר.

משפט הקוסינוסים

חשוב לדעת

הנוסחה

הזווית בנוסחה היא הזווית שמול הצלע שבאגף השמאלי:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)

ולמציאת זווית מתוך שלוש צלעות:

\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

טיפ

מתי משתמשים

שתי צלעות והזווית שביניהן, ומחפשים את הצלע השלישית.
שלוש צלעות, ומחפשים זווית.

כאן אין שתי תשובות: קוסינוס שלילי פירושו זווית קהה, וזה נותן זווית אחת בלבד.

שטח משולש

חשוב לדעת

שתי צלעות והזווית שביניהן

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)

הזווית חייבת להיות הכלואה בין שתי הצלעות.

במקבילית $ABCD$ השטח כפול:

S = AB \cdot AD \cdot \sin(\alpha)

מלכודת

מהשטח אל הזווית

כשהשטח נתון ומחפשים זווית, מקבלים סינוס, ולכן שתי זוויות אפשריות: $\alpha$ וגם $180^\circ - \alpha$ . אם השאלה לא אומרת שהזווית חדה או קהה, שתיהן תשובות.

טיפ

שטח של מרובע

מחלקים את המרובע באלכסון לשני משולשים, ומחשבים כל אחד בנוסחת השטח. האלכסון משותף לשניהם, ולכן מחשבים אותו פעם אחת.

איך בוחרים כלי

חשוב לדעת

מפת הכלים

מה נתון	הכלי
משולש ישר זווית	סינוס, קוסינוס או טנגנס
צלע והזווית שמולה (זוג)	משפט הסינוסים
המעגל החוסם או הרדיוס שלו	משפט הסינוסים
שתי צלעות והזווית שביניהן	משפט הקוסינוסים
שלוש צלעות	משפט הקוסינוסים
שטח, או שתי צלעות והזווית שביניהן ומבקשים שטח	נוסחת השטח

טיפ

שאלה רב־סעיפית

כל סעיף מזין את הבא. מסמנים על הסרטוט כל מה שמצאו, ובכל סעיף שואלים: באיזה משולש יש לי עכשיו שלושה נתונים?

מלכודת

מחשבון ועיגול

המחשבון חייב להיות במצב DEG. ולא מעגלים באמצע: שומרים את התוצאה המלאה בזיכרון המחשבון, ומעגלים רק בתשובה הסופית.

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

במשולש ישר זווית: מול חלקי יתר, ליד חלקי יתר, מול חלקי ליד.
יש זוג (צלע והזווית שמולה): משפט הסינוסים. אין זוג: משפט הקוסינוסים.
זווית מתוך סינוס: שתי אפשרויות, $\alpha$ וגם $180^\circ - \alpha$ .
שטח: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.
מחשבון במצב DEG, ועיגול רק בסוף.

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.

טריגונומטריה במישור

1משולש ישר זווית

סינוס, קוסינוס וטנגנס

שלוש הזוויות המיוחדות

זווית מתוך יחס

2משפט הסינוסים

הנוסחה

מתי משתמשים

שתי זוויות מאותו סינוס

3משפט הקוסינוסים

הנוסחה

מתי משתמשים

4שטח משולש

שתי צלעות והזווית שביניהן

מהשטח אל הזווית

שטח של מרובע

5איך בוחרים כלי

מפת הכלים

שאלה רב־סעיפית

מחשבון ועיגול

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

משולש ישר זווית

משפט הסינוסים

משפט הקוסינוסים

שטח משולש

איך בוחרים כלי