דלג לתוכן הראשי
חזרה לנושא במסלול

דף סיכום · שאלון 571

פונקציות טריגונומטריות

משוואות וזהויות, ואחריהן חקירה, נגזרת ואינטגרל של פונקציות עם סינוס, קוסינוס וטנגנס. המשוואות נלמדות במעלות, ומהחקירה והלאה עובדים ברדיאנים.

משוואות טריגונומטריות

חשוב לדעת

הפתרון הכללי

sin⁡(x)=sin⁡(α)  ⇒  x=α+360∘k    ,    x=180∘−α+360∘k\sin(x) = \sin(\alpha) \;\Rightarrow\; x = \alpha + 360^\circ k \;\;,\;\; x = 180^\circ - \alpha + 360^\circ k cos⁡(x)=cos⁡(α)  ⇒  x=±α+360∘k\cos(x) = \cos(\alpha) \;\Rightarrow\; x = \pm\alpha + 360^\circ k tan⁡(x)=tan⁡(α)  ⇒  x=α+180∘k\tan(x) = \tan(\alpha) \;\Rightarrow\; x = \alpha + 180^\circ k

כאשר kk מספר שלם. ברדיאנים מחליפים את 360∘360^\circ במספר 2π2\pi, ואת 180∘180^\circ במספר π\pi.

טיפ

צמצום לתחום נתון

מציבים k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \ldots וגם k=−1k = -1 בכל אחת מהמשפחות, ושומרים רק את הפתרונות שבתוך התחום. עוצרים כשהפתרון יוצא מהתחום.

חשוב לדעת

הזהויות שצריך

sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=1−2sin⁡2(x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1
טיפ

משתנה עזר

כשיש רק סינוס (או רק קוסינוס) בחזקות שונות, מסמנים t=sin⁡(x)t = \sin(x):

2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=02\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 2t2−t−1=0  ⇒  t=1  ,  t=−122t^2 - t - 1 = 0 \;\Rightarrow\; t = 1 \;,\; t = -\frac{1}{2}

שני הערכים בין −1-1 לבין 11, ולכן שניהם מתקבלים. ערך מחוץ לטווח הזה נפסל.

כשמופיעים גם סינוס וגם קוסינוס בריבוע, מאחדים קודם בזהות sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.

מלכודת

לעולם לא מחלקים בביטוי טריגונומטרי

חלוקה בביטוי sin⁡(x)\sin(x) מוחקת את כל הפתרונות שבהם sin⁡(x)=0\sin(x) = 0. במקום לחלק, מוציאים גורם משותף:

sin⁡(2x)=sin⁡(x)\sin(2x) = \sin(x) 2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0 sin⁡(x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(x)\left(2\cos(x) - 1\right) = 0

ועכשיו כל גורם שווה לאפס.

רדיאנים והגרפים

חשוב לדעת

רדיאנים

π=180∘\pi = 180^\circ
00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}
סינוס0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}11
קוסינוס1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00
חשוב לדעת

מחזור, זוגיות וטווח

  • סינוס וקוסינוס: מחזור 2π2\pi, ערכים בין −1-1 לבין 11.
  • טנגנס: מחזור π\pi.
  • המחזור של sin⁡(ax)\sin(ax) הוא 2π∣a∣\dfrac{2\pi}{|a|}.
  • קוסינוס זוגית: cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x).
  • סינוס וטנגנס אי־זוגיות: sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x).
חשוב לדעת

סינוס וקוסינוס בסיבוב שלם

הקו הרציף הוא sin⁡(x)\sin(x) והמקווקו הוא cos⁡(x)\cos(x). הקוסינוס הוא אותו גל, מוזז ברבע מחזור.

נגזרת וחקירה

חשוב לדעת

הנגזרות

(sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin(x)\right)' = \cos(x) (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos(x)\right)' = -\sin(x) (tan⁡(x))′=1cos⁡2(x)\left(\tan(x)\right)' = \frac{1}{\cos^2(x)} (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin(ax + b)\right)' = a\cos(ax + b) (sin⁡2(x))′=2sin⁡(x)cos⁡(x)\left(\sin^2(x)\right)' = 2\sin(x)\cos(x)

גוזרים את הפונקציה ומכפילים בנגזרת הפנימית. הנוסחאות נכונות רק ברדיאנים.

חשוב לדעת

תחום הגדרה ואסימפטוטות

  • מכנה: דוגמה, cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 ולכן x≠π2+πkx \neq \frac{\pi}{2} + \pi k.
  • שורש: הביטוי שמתחתיו לא שלילי.
  • אסימפטוטה אנכית כשהמכנה מתאפס לבדו. אם גם המונה מתאפס באותה נקודה, בודקים אם זה חור.
טיפ

קיצון בתחום סגור

הערך הגדול ביותר (או הקטן ביותר) בתחום סגור יכול להיות בקיצון מקומי או בקצה התחום. מציבים בפונקציה את נקודות הקיצון וגם את שני הקצוות, ומשווים.

טיפ

חקירה בסיבוב שלם

כשהתחום הוא סיבוב שלם, טבלת הסימנים כוללת את כל פתרונות הנגזרת בתחום. מסדרים אותם מהקטן לגדול לפני שבונים את הטבלה.

אינטגרל ושטח

חשוב לדעת

האינטגרלים

∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C ∫cos⁡(ax+b) dx=1asin⁡(ax+b)+C\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C ∫1cos⁡2(x) dx=tan⁡(x)+C\int \frac{1}{\cos^2(x)} \, dx = \tan(x) + C

הסימן מתהפך רק באינטגרל של סינוס.

מלכודת

אינטגרל הוא לא שטח

∫02πsin⁡(x) dx=0\int_0^{2\pi} \sin(x) \, dx = 0

אבל השטח בין הגרף לציר xx בקטע הזה הוא 44: קשת אחת מעל הציר וקשת אחת מתחתיו, שטח 22 כל אחת. לכן מפצלים בנקודות החיתוך עם הציר, ומחברים את הערכים המוחלטים:

∫0πsin⁡(x) dx=2\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = 2

מלכודות שעולות נקודות

מלכודת

מחשבון במצב הנכון

משוואות במעלות: מצב DEG. חקירה, נגזרת ואינטגרל: מצב RAD.

מלכודת

פתרונות שנשכחו

לסינוס ולקוסינוס יש שתי משפחות פתרונות. ובתחום נתון בודקים גם ערכים שליליים של kk.

מלכודת

מה בריבוע

sin⁡2(x)\sin^2(x) פירושו (sin⁡(x))2\left(\sin(x)\right)^2, וזה לא sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right). בגזירה זה גם משנה: הנגזרת הפנימית שונה.

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

  • סינוס וקוסינוס: שתי משפחות פתרונות. טנגנס: משפחה אחת.

  • לא מחלקים בביטוי טריגונומטרי, מוציאים גורם משותף.

  • נגזרות ואינטגרלים רק ברדיאנים, ומכפילים בנגזרת הפנימית.

  • בתחום סגור: משווים את הקיצונים גם עם הקצוות.

  • שטח: מפצלים בנקודות החיתוך עם הציר.

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.