סדרות ואינדוקציה

ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע:

$$a_{n+1} - a_n = d$$ $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

דוגמה: $3, 7, 11, 15, \ldots$ כאן $a_1 = 3$ וההפרש הוא $d = 4$, ולכן $a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$.

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ $$S_n = \frac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2}$$

הראשונה כשהאיבר האחרון ידוע, השנייה כשההפרש ידוע.

מחשבים את $a_{n+1} - a_n$ ומראים שיוצא מספר קבוע שאינו תלוי באות $n$.

דוגמה: $a_n = 5n - 2$

$$a_{n+1} - a_n = 5(n+1) - 2 - (5n - 2) = 5$$

ולכן הסדרה חשבונית עם $d = 5$.

כלל שמגדיר כל איבר לפי האיבר שלפניו, יחד עם האיבר הראשון.

דוגמה: הכלל $a_{n+1} = a_n + 5$ עם האיבר הראשון $a_1 = 2$ מגדיר סדרה חשבונית עם הפרש $d = 5$.

כשהכלל מסובך יותר, מחשבים כמה איברים ראשונים ומחפשים את החוקיות.

המנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

דוגמה: $2, 6, 18, 54, \ldots$ כאן $a_1 = 2$ והמנה היא $q = 3$.

$$S_n = \frac{a_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}$$

הנוסחה נכונה כאשר $q \neq 1$. אם $q = 1$ כל האיברים שווים, ואז $S_n = n \cdot a_1$.

מחשבים את $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ ומראים שיוצא מספר קבוע שאינו תלוי באות $n$.

דוגמה: $a_n = 5 \cdot 2^n$

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} = 2$$

מציבים בנוסחת האיבר הכללי ומשווים חזקות עם אותו בסיס.

דוגמה: בסדרה $3, 6, 12, \ldots$ איזה איבר שווה למספר $384$?

$$3 \cdot 2^{n-1} = 384$$ $$2^{n-1} = 128 = 2^7$$

ולכן $n = 8$.

לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום ממשי (מספר סופי) רק כאשר

$$-1 < q < 1 \quad , \quad q \neq 0$$

ואז

$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

דוגמה: $8, 4, 2, 1, \ldots$ כאן $q = \frac{1}{2}$, ולכן $S = \dfrac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$.

כאשר $a_1 > 0$:

• $q > 1$ הסדרה עולה.
• $0 < q < 1$ הסדרה יורדת (ומתכנסת לאפס).
• $q < 0$ הסימנים מתחלפים, ולכן הסדרה לא עולה ולא יורדת.

כאשר $a_1 < 0$ הכיוון מתהפך: עם $q > 1$ היא יורדת, ועם $0 < q < 1$ היא עולה.