דף סיכום · שאלון 571

הסתברות

שלושה כלים (עץ, טבלה וברנולי) ושאלה אחת שחוזרת בכל בגרות: הסתברות מותנית. רוב העבודה היא לזהות איזה כלי מתאים לשאלה, ומשם החישוב קצר.

היסודות

חשוב לדעת

מה זו הסתברות

כשכל התוצאות שוות סיכוי, ההסתברות היא מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות.

0 \le P(A) \le 1

המאורע המשלים (המאורע לא קרה):

P(\bar A) = 1 - P(A)

חשוב לדעת

"וגם" ו"או"

וגם (שני המאורעות קרו) זה החיתוך, ובמאורעות בלתי תלויים כופלים:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

או (לפחות אחד מהם קרה):

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

טיפ

"לפחות אחד" דרך המשלים

ההפך של "לפחות אחד" הוא "אף אחד". לכן כמעט תמיד הכי קצר לחשב: אחת פחות ההסתברות שאף אחד לא קרה.

דוגמה: שלוש זריקות מטבע. הסיכוי לפחות לעץ אחד הוא $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{7}{8}$ .

עץ הסתברויות

חשוב לדעת

מתי עץ ואיך קוראים אותו

עץ מתאים כשיש שלבים בזה אחר זה (הוצאה ראשונה, ואחריה הוצאה שנייה). שלושה כללים:

לאורך מסלול כופלים.
בין מסלולים שונים מחברים.
סכום הענפים שיוצאים מאותה נקודה הוא תמיד $1$ .

דוגמה: בכד יש $3$ כדורים אדומים וגם $2$ כדורים כחולים, מוציאים שניים בלי החזרה. הסיכוי לשני צבעים שונים הוא סכום שני המסלולים המסומנים:

\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}

טיפ

עם החזרה ובלי החזרה

עם החזרה: ההסתברויות בשלב השני זהות לשלב הראשון.

בלי החזרה: בשלב השני גם המונה וגם המכנה משתנים, כי כדור אחד כבר יצא. בדוגמה המכנה ירד מחמש לארבע.

טיפ

עץ עם נעלם

כשהסתברות לא ידועה מסמנים אותה $p$ , והענף השני הוא $1 - p$ . כופלים לאורך המסלולים, ומשווים את התוצאה לנתון שבשאלה.

טבלת הסתברויות

חשוב לדעת

טבלה דו־ממדית

טבלה מתאימה כשיש אוכלוסייה אחת עם שתי תכונות (בן או בת, ובנוסף עבר או לא עבר). בכל תא נמצא "וגם", ובשוליים נמצאת ההסתברות של תכונה אחת:

	$B$	$\bar B$	סה״כ
$A$	$P(A \cap B)$	$P(A \cap \bar B)$	$P(A)$
$\bar A$	$P(\bar A \cap B)$	$P(\bar A \cap \bar B)$	$P(\bar A)$
סה״כ	$P(B)$	$P(\bar B)$	$1$

כל שורה מסתכמת בשוליים שלה, כל עמודה מסתכמת בשוליים שלה, והפינה היא $1$ .

טיפ

למלא טבלה עד הסוף

מכניסים את כל הנתונים, ואז משלימים בחיסור: בכל שורה ובכל עמודה שבה חסר רק תא אחד, אותו תא נקבע מיד. כשיש נעלם, משווים שורה או עמודה לשוליים שלה ומקבלים משוואה.

מלכודת

"מתוך" זה לא "וגם"

" $40\%$ מהבנים עברו" זה לא תא בטבלה. אם $A$ הוא המאורע "עבר" ואם $B$ הוא המאורע "בן", זו הסתברות מותנית:

P(A \mid B) = 0.4

כדי לקבל את התא כופלים:

P(A \cap B) = P(B) \cdot 0.4

הסתברות ברנולי

חשוב לדעת

הנוסחה

ההסתברות לבדיוק $k$ הצלחות מתוך $n$ ניסויים:

P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

את $\binom{n}{k}$ מחשבים במחשבון בכפתור $nCr$ .

חשוב לדעת

מתי מותר להשתמש

ניסויים זהים ובלתי תלויים.
בכל ניסוי רק שתי תוצאות: הצלחה או כישלון.
ההסתברות להצלחה $p$ זהה בכל ניסוי.

הוצאה בלי החזרה היא לא ברנולי, כי ההסתברות משתנה.

חשוב לדעת

בדיוק, לפחות, לכל היותר, בכלל לא

בכלל לא: $P_n(0) = (1-p)^n$
לפחות אחד: $1 - (1-p)^n$
לפחות שתיים מתוך חמש: $1 - P_5(0) - P_5(1)$
לכל היותר שתיים מתוך חמש: $P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$

כלל אצבע: כשהרשימה ארוכה, מחשבים את המשלים.

טיפ

כשהסדר חשוב

"ההצלחה הראשונה בניסוי הרביעי" זה מסלול אחד בלבד, בלי $\binom{n}{k}$ :

(1-p)^3 \cdot p

"בדיוק שתי הצלחות מתוך חמש, והאחרונה הצלחה": מקבעים את האחרונה ומפעילים ברנולי על ארבעת הניסויים הראשונים:

P_4(1) \cdot p

הסתברות מותנית

חשוב לדעת

"בהינתן ש..." — הנוסחה

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

המאורע שאחרי "בהינתן" הולך למכנה. הוא האוכלוסייה החדשה שמסתכלים עליה.

טיפ

בעץ ובטבלה

בעץ: המונה הוא המסלולים שבהם קרו שני המאורעות. המכנה הוא סכום כל המסלולים שבהם קרה מה שבהינתן.

בטבלה: התא חלקי השוליים של השורה או העמודה של מה שבהינתן.

חשוב לדעת

מאורעות בלתי תלויים

המאורעות $A$ וגם $B$ בלתי תלויים כאשר הידיעה שאחד קרה לא משנה את הסיכוי של השני:

P(A \mid B) = P(A)

ובאופן שקול:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

כך גם בודקים תלות: מחשבים את שני האגפים ומשווים.

טיפ

מותנית בתוך ברנולי

דוגמה: "בהינתן שהייתה לפחות הצלחה אחת, מה הסיכוי שהיו בדיוק שתיים?"

\frac{P_n(2)}{1 - P_n(0)}

המונה הוא "וגם", וכאן "בדיוק שתיים" כבר כולל "לפחות אחת".

מלכודות שעולות נקודות

מלכודת

מחליפים בין המונה למכנה

הביטוי $P(A \mid B)$ והביטוי $P(B \mid A)$ הם שני מספרים שונים. קוראים שוב את המשפט, ומה שבא אחרי "בהינתן" או "מתוך" הולך למכנה.

מלכודת

ברנולי בלי החזרה

כשההוצאה היא בלי החזרה ההסתברות משתנה מניסיון לניסיון, ולכן משתמשים בעץ ולא בנוסחת ברנולי.

מלכודת

אחוזים

ממירים אחוזים למספר עשרוני לפני החישוב: $35\% = 0.35$ . ובסוף בודקים שההסתברות יצאה בין $0$ לבין $1$ .

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

שלבים בזה אחר זה: עץ. אוכלוסייה עם שתי תכונות: טבלה. ניסוי שחוזר עם אותו סיכוי: ברנולי.
בעץ: כופלים לאורך מסלול ומחברים בין מסלולים.
"לפחות אחד" מחשבים דרך המשלים.
מותנית: מה שבהינתן הולך למכנה.
בלתי תלויים: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.

הסתברות

1היסודות

מה זו הסתברות

"וגם" ו"או"

"לפחות אחד" דרך המשלים

2עץ הסתברויות

מתי עץ ואיך קוראים אותו

עם החזרה ובלי החזרה

עץ עם נעלם

3טבלת הסתברויות

טבלה דו־ממדית

למלא טבלה עד הסוף

"מתוך" זה לא "וגם"

4הסתברות ברנולי

הנוסחה

מתי מותר להשתמש

בדיוק, לפחות, לכל היותר, בכלל לא

כשהסדר חשוב

5הסתברות מותנית

"בהינתן ש..." — הנוסחה

בעץ ובטבלה

מאורעות בלתי תלויים

מותנית בתוך ברנולי

6מלכודות שעולות נקודות

מחליפים בין המונה למכנה

ברנולי בלי החזרה

אחוזים

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

היסודות

עץ הסתברויות

טבלת הסתברויות

הסתברות ברנולי

הסתברות מותנית

מלכודות שעולות נקודות