דף סיכום · שאלון 571

פונקציות מנה ושורש

שאלת חקירה עוברת תמיד באותו מסלול: תחום הגדרה, חיתוכים, אסימפטוטות, נגזרת וקיצון, ואז שרטוט. אחריה מגיעים סעיפי חשיבה ושטח. מי שעובר על הרשימה לפי הסדר לא מפספס סעיפים.

תחום הגדרה

חשוב לדעת

מה פוסל ערך של x

מכנה לא יכול להתאפס: מוציאים את הערכים שמאפסים אותו.
מתחת לשורש הביטוי חייב להיות גדול או שווה לאפס.
שורש במכנה: הביטוי מתחת לשורש חייב להיות גדול מאפס (גם שורש וגם מכנה).

חשוב לדעת

ביטוי ריבועי מתחת לשורש

פותרים את אי־השוויון בעזרת הפרבולה. דוגמה:

f(x) = \sqrt{x^2 - 4}

השורשים הם $\pm 2$ , הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ולכן חיובית מחוץ לשורשים:

$x \le -2$ או $x \ge 2$

חיתוכים ואסימפטוטות

חשוב לדעת

חיתוך עם הצירים

ציר $y$ : מציבים $x = 0$ (רק אם אפס בתחום).
ציר $x$ : מציבים $y = 0$ . במנה מאפסים את המונה, ובשורש את מה שמתחתיו.

ובודקים שכל פתרון נמצא בתחום ההגדרה.

מלכודת

אסימפטוטה אנכית ומלכודת החור

אסימפטוטה אנכית נמצאת בערך שמאפס את המכנה אבל לא את המונה.

אם גם המונה וגם המכנה מתאפסים, ייתכן שזה חור בגרף ולא אסימפטוטה. דוגמה:

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \quad , \quad x \neq 1

בנקודה $x = 1$ יש חור, ואין שם אסימפטוטה.

חשוב לדעת

אסימפטוטה אופקית לפי החזקות

משווים את החזקה הגבוהה במונה לזו שבמכנה:

החזקה במכנה גבוהה יותר: $y = 0$
החזקות שוות: $y$ = המקדם המוביל במונה חלקי המקדם המוביל במכנה.
החזקה במונה גבוהה יותר: אין אסימפטוטה אופקית.

דוגמה: $f(x) = \dfrac{2x}{x - 1}$ עם אסימפטוטה אנכית $x = 1$ ואסימפטוטה אופקית $y = 2$ .

טיפ

עם שורש: כל צד בנפרד

כשיש שורש, האסימפטוטה בצד ימין ובצד שמאל יכולה להיות שונה. דוגמה:

f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

כאשר $x$ שואף לאינסוף היא מתקרבת לישר $y = 1$ , וכאשר $x$ שואף למינוס אינסוף היא מתקרבת לישר $y = -1$ .

נגזרת וקיצון

חשוב לדעת

כללי הגזירה

\left(x^n\right)' = n x^{n-1}

\left(u \cdot v\right)' = u'v + uv'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

\left(\sqrt{g(x)}\right)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

\left(g(x)^n\right)' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)

בשתי האחרונות גוזרים את הביטוי ומכפילים בנגזרת הפנימית.

חשוב לדעת

מציאת קיצון וטבלת סימנים

גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס.
בונים טבלת סימנים, ומכניסים אליה גם את הנקודות שמחוץ לתחום (אסימפטוטות).
מציבים ערך מכל קטע בנגזרת: פלוס זה עלייה, מינוס זה ירידה.
מציבים את שיעור $x$ של הקיצון בפונקציה כדי לקבל את שיעור $y$ .

במכנה בריבוע הסימן תמיד חיובי, ולכן הסימן של הנגזרת נקבע לפי המונה בלבד.

חשוב לדעת

דוגמה מלאה

f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \qquad f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}

$x$	$x < 0$	קיצון $x = 0$	$0 < x < 1$	מחוץ לתחום $x = 1$	$1 < x < 2$	קיצון $x = 2$	$x > 2$
מציבים	$-1$		$0.5$		$1.5$		$3$
$f'(x)$	+	0	−	אינה מוגדרת	−	0	+
$f(x)$		max · מקסימום		אינה מוגדרת		min · מינימום

מקסימום בנקודה $(0, 0)$ ומינימום בנקודה $(2, 4)$ . הפונקציה עולה כאשר $x < 0$ או $x > 2$ , ויורדת כאשר $0 < x < 1$ או $1 < x < 2$ .

שרטוט וסעיפי חשיבה

טיפ

סדר השרטוט

קודם האסימפטוטות (קווים מקווקווים), אחר כך נקודות החיתוך והקיצון, ורק בסוף מחברים לפי טבלת העלייה והירידה. אם הגרף "לא מסתדר", יש טעות באחד הסעיפים הקודמים.

חשוב לדעת

הזזות ושיקופים

$f(x) + k$ זה הזזה למעלה, במרחק $k$ .
$f(x - a)$ זה הזזה ימינה, במרחק $a$ .
$-f(x)$ זה שיקוף סביב ציר $x$ .
$f(-x)$ זה שיקוף סביב ציר $y$ .
$|f(x)|$ מעלה את החלקים שמתחת לציר $x$ אל מעליו.

חשוב לדעת

זוגית ואי־זוגית

זוגית: $f(-x) = f(x)$ . הגרף סימטרי לציר $y$ .

אי־זוגית: $f(-x) = -f(x)$ . הגרף סימטרי לראשית הצירים.

טיפ

כמה פתרונות יש למשוואה

מספר הפתרונות של $f(x) = k$ הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי $y = k$ . מזיזים את הישר על הסרטוט ובודקים מול ערכי הקיצון והאסימפטוטות.

חשוב לדעת

גרף הנגזרת

איפה שהנגזרת חיובית הפונקציה עולה, ואיפה שהיא שלילית הפונקציה יורדת.
איפה שגרף הנגזרת חותך את ציר $x$ (ומחליף סימן) יש לפונקציה קיצון.
איפה שהנגזרת עולה הפונקציה קעורה כלפי מעלה, ואיפה שהנגזרת יורדת היא קעורה כלפי מטה.

אינטגרל ושטח

חשוב לדעת

האינטגרלים שצריך

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad , \quad n \neq -1

\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C

\int \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \, dx = \sqrt{g(x)} + C

תמיד אפשר לבדוק אינטגרל בגזירה: גוזרים את התשובה וחוזרים לפונקציה.

חשוב לדעת

שטח

מוצאים את נקודות החיתוך (עם ציר $x$ או בין הגרפים).
משרטטים ומחליטים מי למעלה.
שטח בין שני גרפים: אינטגרל של העליון פחות התחתון.

שטח מתחת לציר $x$ יוצא שלילי באינטגרל, ולכן לוקחים אותו עם סימן מינוס.

חשוב לדעת

דוגמה

השטח בין $y = x$ לבין $y = x^2$ . נקודות החיתוך הן $x = 0$ וגם $x = 1$ , ובקטע הזה $y = x$ הוא העליון:

S = \int_0^1 \left(x - x^2\right) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

תחום: מכנה שונה מאפס, מתחת לשורש לא שלילי, שורש במכנה חיובי ממש.
אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס והמונה לא. שניהם מתאפסים: בודקים אם זה חור.
בטבלת הסימנים מופיעות גם הנקודות שמחוץ לתחום.
שיעור $y$ של קיצון מציבים בפונקציה, לא בנגזרת.
שטח בין גרפים: העליון פחות התחתון, בין נקודות החיתוך.

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.

פונקציות מנה ושורש

1תחום הגדרה

מה פוסל ערך של x

ביטוי ריבועי מתחת לשורש

2חיתוכים ואסימפטוטות

חיתוך עם הצירים

אסימפטוטה אנכית ומלכודת החור

אסימפטוטה אופקית לפי החזקות

עם שורש: כל צד בנפרד

3נגזרת וקיצון

כללי הגזירה

מציאת קיצון וטבלת סימנים

דוגמה מלאה

4שרטוט וסעיפי חשיבה

סדר השרטוט

הזזות ושיקופים

זוגית ואי־זוגית

כמה פתרונות יש למשוואה

גרף הנגזרת

5אינטגרל ושטח

האינטגרלים שצריך

שטח

דוגמה

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

תחום הגדרה

חיתוכים ואסימפטוטות

נגזרת וקיצון

שרטוט וסעיפי חשיבה

אינטגרל ושטח