בעיות קיצון

בנגזרת שנייה, בנקודה שבה $f'(x_0) = 0$:

• $f''(x_0) < 0$ זה מקסימום.
• $f''(x_0) > 0$ זה מינימום.

או בטבלת סימנים: מפלוס למינוס זה מקסימום, ממינוס לפלוס זה מינימום.

• שטח מלבן, משולש וטרפז, והיקף.
• משפט פיתגורס ודמיון משולשים.
• מרחק בין שתי נקודות: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• אמצע קטע: $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

היקף המלבן $20$. מה השטח הגדול ביותר?

הצלעות $x$ וגם $10 - x$, ולכן

מקסימום. השטח הגדול ביותר הוא $S(5) = 25$, והמלבן הוא ריבוע.

מלבן שצלע אחת שלו על ציר $x$ ושני קודקודים על הגרף $y = 12 - x^2$. הקודקוד הימני העליון הוא $\left(x,\; 12 - x^2\right)$ עם $x > 0$:

הערך $x = -2$ נפסל, כי $x$ הוא חצי מרוחב המלבן. מתקיים $S''(2) = -24 < 0$, ולכן מקסימום: $S(2) = 32$.