דלג לתוכן הראשי
חזרה לנושא במסלול

דף סיכום · שאלון 471

הסתברות

שאלה 3 בשאלון. שלושה כלים (עץ, טבלה והסתברות מותנית), וברוב השאלות צריך בעיקר לזהות איזה כלי מתאים. נוסחת ברנולי לא נדרשת בשאלון הזה.

היסודות

חשוב לדעת

מה זו הסתברות

כשכל התוצאות שוות סיכוי, ההסתברות היא מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות.

0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1

המאורע המשלים (המאורע לא קרה):

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A) = 1 - P(A)
חשוב לדעת

"וגם" ו"או"

וגם (שני המאורעות קרו) זה החיתוך, ובמאורעות בלתי תלויים כופלים:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

או (לפחות אחד מהם קרה):

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
טיפ

"לפחות אחד" דרך המשלים

ההפך של "לפחות אחד" הוא "אף אחד". לכן כמעט תמיד הכי קצר לחשב: אחת פחות ההסתברות שאף אחד לא קרה.

דוגמה: שלוש זריקות מטבע. הסיכוי לפחות לעץ אחד הוא 1−(12)3=781 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{7}{8}.

עץ הסתברויות

חשוב לדעת

מתי עץ ואיך קוראים אותו

עץ מתאים כשיש שלבים בזה אחר זה (הוצאה ראשונה, ואחריה הוצאה שנייה). שלושה כללים:

  1. לאורך מסלול כופלים.
  2. בין מסלולים שונים מחברים.
  3. סכום הענפים שיוצאים מאותה נקודה הוא תמיד 11.

דוגמה: בכד יש 33 כדורים אדומים וגם 22 כדורים כחולים, מוציאים שניים בלי החזרה. הסיכוי לשני צבעים שונים הוא סכום שני המסלולים המסומנים:

310+310=35\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}
2/4אדום3/102/4כחול3/10 ✓3/5אדום3/4אדום3/10 ✓1/4כחול1/102/5כחולהוצאה ראשונה
טיפ

עם החזרה ובלי החזרה

עם החזרה: ההסתברויות בשלב השני זהות לשלב הראשון.

בלי החזרה: בשלב השני גם המונה וגם המכנה משתנים, כי כדור אחד כבר יצא. בדוגמה המכנה ירד מחמש לארבע.

טיפ

עץ עם נעלם

כשהסתברות לא ידועה מסמנים אותה pp, והענף השני הוא 1−p1 - p. כופלים לאורך המסלולים, ומשווים את התוצאה לנתון שבשאלה.

טבלת הסתברויות

חשוב לדעת

טבלה דו־ממדית

טבלה מתאימה כשיש אוכלוסייה אחת עם שתי תכונות (בן או בת, ובנוסף עבר או לא עבר). בכל תא נמצא "וגם", ובשוליים נמצאת ההסתברות של תכונה אחת:

BBBˉ\bar Bסה״כ
AAP(A∩B)P(A \cap B)P(A∩Bˉ)P(A \cap \bar B)P(A)P(A)
Aˉ\bar AP(Aˉ∩B)P(\bar A \cap B)P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A \cap \bar B)P(Aˉ)P(\bar A)
סה״כP(B)P(B)P(Bˉ)P(\bar B)11

כל שורה מסתכמת בשוליים שלה, כל עמודה מסתכמת בשוליים שלה, והפינה היא 11.

טיפ

למלא טבלה עד הסוף

מכניסים את כל הנתונים, ואז משלימים בחיסור: בכל שורה ובכל עמודה שבה חסר רק תא אחד, אותו תא נקבע מיד. כשיש נעלם, משווים שורה או עמודה לשוליים שלה ומקבלים משוואה.

מלכודת

"מתוך" זה לא "וגם"

"40%40\% מהבנים עברו" זה לא תא בטבלה. אם AA הוא המאורע "עבר" ואם BB הוא המאורע "בן", זו הסתברות מותנית:

P(A∣B)=0.4P(A \mid B) = 0.4

כדי לקבל את התא כופלים:

P(A∩B)=P(B)⋅0.4P(A \cap B) = P(B) \cdot 0.4

הסתברות מותנית

חשוב לדעת

"בהינתן ש..." — הנוסחה

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

המאורע שאחרי "בהינתן" הולך למכנה. הוא האוכלוסייה החדשה שמסתכלים עליה.

טיפ

בעץ ובטבלה

בעץ: המונה הוא המסלולים שבהם קרו שני המאורעות. המכנה הוא סכום כל המסלולים שבהם קרה מה שבהינתן.

בטבלה: התא חלקי השוליים של השורה או העמודה של מה שבהינתן.

חשוב לדעת

מאורעות בלתי תלויים

המאורעות AA וגם BB בלתי תלויים כאשר הידיעה שאחד קרה לא משנה את הסיכוי של השני:

P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A)

ובאופן שקול:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

כך גם בודקים תלות: מחשבים את שני האגפים ומשווים.

מלכודות שעולות נקודות

מלכודת

מחליפים בין המונה למכנה

הביטוי P(A∣B)P(A \mid B) והביטוי P(B∣A)P(B \mid A) הם שני מספרים שונים. קוראים שוב את המשפט, ומה שבא אחרי "בהינתן" או "מתוך" הולך למכנה.

מלכודת

אחוזים

ממירים אחוזים למספר עשרוני לפני החישוב: 35%=0.3535\% = 0.35. ובסוף בודקים שההסתברות יצאה בין 00 לבין 11.

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

  • שלבים בזה אחר זה: עץ. אוכלוסייה עם שתי תכונות: טבלה.

  • בעץ: כופלים לאורך מסלול ומחברים בין מסלולים.

  • "לפחות אחד" מחשבים דרך המשלים.

  • מותנית: מה שבהינתן הולך למכנה.

  • בלתי תלויים: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.