דלג לתוכן הראשי
חזרה לנושא במסלול

דף סיכום · שאלון 471

התפלגות נורמלית

שאלה 1 בשאלון. כמעט כל סעיף עובר באותה דרך: מחשבים ציון תקן, קוראים בטבלה את השטח, ומתרגמים אותו לאחוזים או למספר אנשים.

יסודות הסטטיסטיקה

חשוב לדעת

ממוצע, חציון ושכיח

ממוצע מטבלת שכיחויות (כל ערך כפול השכיחות שלו):

xˉ=x1⋅f1+x2⋅f2+⋯+xn⋅fnN\bar{x} = \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \dots + x_n \cdot f_n}{N}

חציון: הנתון האמצעי אחרי סידור מהקטן לגדול. המיקום שלו הוא N+12\dfrac{N + 1}{2}.

שכיח: הנתון שמופיע הכי הרבה פעמים.

חשוב לדעת

טווח ושכיחות יחסית

טווח: הנתון הגדול פחות הנתון הקטן:

xmax⁡−xmin⁡x_{\max} - x_{\min}

שכיחות יחסית: החלק של הנתון מכלל הנתונים:

fN\frac{f}{N}
חשוב לדעת

סטיית תקן

סטיית התקן מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע. ככל שהיא גדולה יותר, הנתונים רחוקים יותר מהממוצע.

S=(x1−xˉ)2⋅f1+(x2−xˉ)2⋅f2+⋯+(xn−xˉ)2⋅fnNS = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 \cdot f_1 + (x_2 - \bar{x})^2 \cdot f_2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2 \cdot f_n}{N}}
מלכודת

ממוצע של שתי קבוצות

לא מחשבים ממוצע של שני הממוצעים. כל ממוצע מוכפל בגודל הקבוצה שלו:

xˉ=N1⋅xˉ1+N2⋅xˉ2N1+N2\bar{x} = \frac{N_1 \cdot \bar{x}_1 + N_2 \cdot \bar{x}_2}{N_1 + N_2}

עקומת הפעמון וציון התקן

חשוב לדעת

עקומת הפעמון

  • סימטרית סביב הממוצע: הממוצע, החציון והשכיח שווים.
  • חצי מהנתונים משמאל לממוצע וחצי מימין.
  • סטיית תקן גדולה יותר: פעמון רחב ונמוך יותר.
חשוב לדעת

ציון התקן

ציון התקן אומר כמה סטיות תקן הנתון רחוק מהממוצע:

Z=x−xˉSZ = \frac{x - \bar{x}}{S}

ובכיוון ההפוך, מציון תקן אל הנתון:

x=xˉ+Z⋅Sx = \bar{x} + Z \cdot S

נתון מתחת לממוצע מקבל ציון תקן שלילי.

טיפ

נעלם בנוסחה

אותה נוסחה עובדת לכל כיוון. כשהממוצע או סטיית התקן חסרים, מבודדים אותם:

xˉ=x−Z⋅SS=x−xˉZ\bar{x} = x - Z \cdot S \qquad S = \frac{x - \bar{x}}{Z}

וכשחסרים גם הממוצע וגם סטיית התקן, כותבים שתי משוואות משני נתונים ופותרים.

טבלת ההתפלגות

חשוב לדעת

הטבלה נותנת שטח משמאל

כל השטח מתחת לעקומה הוא 11. הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון התקן, וזה החלק של הנתונים שקטנים ממנו:

Φ(Z)\Phi(Z)

מעגלים את ציון התקן לשתי ספרות אחרי הנקודה, וקוראים בטבלה: השורה היא ציון התקן עם ספרה אחת אחרי הנקודה, והעמודה היא הספרה השנייה. למשל עבור Z=0.83Z = 0.83 השורה היא 0.80.8 והעמודה היא 0.030.03. לציון תקן שלילי יש שורות שליליות בטבלה.

חשוב לדעת

שטח מימין

החלק של הנתונים שגדולים מהערך:

1−Φ(Z)1 - \Phi(Z)
חשוב לדעת

שטח בין שני ערכים

מחשבים ציון תקן לכל אחד מהערכים, ומחסרים את השטח הקטן מהגדול:

Φ(Z2)−Φ(Z1)\Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
טיפ

מאחוזים למספר אנשים

מספר האנשים הוא השטח כפול מספר כל הנבדקים. דוגמה: השטח 0.20.2 מתוך 500500 תלמידים הם 0.2⋅500=1000.2 \cdot 500 = 100 תלמידים.

טיפ

מהשטח אל הנתון

כשנתון אחוז ומבקשים את הערך: מחפשים את השטח בתוך הטבלה, קוראים את ציון התקן בשורה ובעמודה, ואז מציבים בנוסחה x=xˉ+Z⋅Sx = \bar{x} + Z \cdot S. אם האחוז נתון מימין, קודם מחסרים אותו מאחת.

טרנספורמציות

חשוב לדעת

מה קורה לממוצע ולסטיית התקן

השינוי בכל הנתוניםהממוצעסטיית התקן
מוסיפים מספר קבוע ccyˉ=xˉ+c\bar{y} = \bar{x} + cלא משתנה: Sy=SxS_y = S_x
מכפילים במספר חיובי kkyˉ=k⋅xˉ\bar{y} = k \cdot \bar{x}Sy=k⋅SxS_y = k \cdot S_x
גם וגם: y=a⋅x+by = a \cdot x + b, כאשר a>0a > 0yˉ=a⋅xˉ+b\bar{y} = a \cdot \bar{x} + bSy=a⋅SxS_y = a \cdot S_x

תוספת קבועה מזיזה את הנתונים ולא משנה את הפיזור. הכפלה משנה גם את הפיזור.

טיפ

ציון התקן לא משתנה

כשמוסיפים מספר לכל הנתונים או מכפילים את כולם במספר חיובי, ציון התקן של כל אחד נשאר אותו דבר. לכן גם האחוז שמתחתיו נשאר אותו דבר.

מלכודות שעולות נקודות

מלכודת

משמאל או מימין

"יותר מ", "לפחות" ו"מעל" שואלים על הצד הימני, ושם צריך 1−Φ(Z)1 - \Phi(Z). הטבלה לבדה נותנת רק את הצד השמאלי.

מלכודת

אחוז או מספר

קוראים שוב מה נשאל: "איזה אחוז" עונים באחוזים, ו"כמה תלמידים" עונים במספר שלם של אנשים.

מלכודת

סטיית תקן אחרי תוספת

כשמוסיפים 55 נקודות לכל הציונים, סטיית התקן לא גדלה. רק הממוצע זז.

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

  • ציון תקן: Z=x−xˉSZ = \dfrac{x - \bar{x}}{S}, ושלילי מתחת לממוצע.

  • הטבלה נותנת שטח משמאל. מימין: אחת פחות. בין שני ערכים: מחסרים.

  • מספר אנשים הוא השטח כפול מספר הנבדקים.

  • תוספת קבועה מזיזה רק את הממוצע. הכפלה משנה גם את סטיית התקן.

  • ממוצע של שתי קבוצות: כל ממוצע כפול גודל הקבוצה שלו.

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.