דלג לתוכן הראשי
חזרה לנושא במסלול

דף סיכום · שאלון 471

פונקציות מנה ושורש

שאלות החקירה בשאלון 471: פונקציית מנה בלי שורש, ופונקציית שורש בלי מנה (שורש של ביטוי, או שורש כפול פולינום). החקירה עוברת תמיד באותו מסלול: תחום, חיתוכים, אסימפטוטות, נגזרת וקיצון, שרטוט, ואחר כך סעיפי חשיבה ושטח.

תחום הגדרה וחיתוכים

חשוב לדעת

תחום הגדרה

מנה: המכנה לא מתאפס.

P(x)Q(x)  :Q(x)≠0\frac{P(x)}{Q(x)} \;:\quad Q(x) \neq 0

שורש: הביטוי שמתחתיו לא שלילי.

g(x)  :g(x)≥0\sqrt{g(x)} \;:\quad g(x) \ge 0
חשוב לדעת

חיתוך עם הצירים

  • ציר yy: מציבים x=0x = 0, אם אפס בתחום.
  • ציר xx: מציבים y=0y = 0. במנה מאפסים את המונה, ובשורש כפול פולינום מאפסים כל גורם.

ובודקים שכל פתרון נמצא בתחום ההגדרה.

טיפ

חיתוך בין שתי פונקציות

משווים את שתי הפונקציות f(x)=g(x)f(x) = g(x) ופותרים. את שיעור yy מקבלים בהצבה באחת מהן.

אסימפטוטות

חשוב לדעת

אנכית ואופקית

אנכית x=ax = a: בערך שמאפס את המכנה ולא את המונה.

אופקית, לפי החזקות של המונה והמכנה:

  • החזקה במכנה גבוהה יותר: y=0y = 0
  • החזקות שוות: המקדם המוביל במונה חלקי המקדם המוביל במכנה.

דוגמה: f(x)=2xx−1f(x) = \dfrac{2x}{x - 1} עם אסימפטוטה אנכית x=1x = 1 ואסימפטוטה אופקית y=2y = 2.

מלכודת

חור ולא אסימפטוטה

כשגם המונה וגם המכנה מתאפסים באותו ערך, מצמצמים. אם הגורם מתבטל, יש שם חור בגרף ולא אסימפטוטה.

נגזרת, משיק וקיצון

חשוב לדעת

כללי הגזירה

(xn)′=n⋅xn−1\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1} (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' (uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} (u)′=u′2u\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} (un)′=n⋅un−1⋅u′\left(u^n\right)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'

מספר לבד נגזר לאפס. בשתי האחרונות מכפילים בנגזרת הפנימית.

חשוב לדעת

משוואת משיק

השיפוע של המשיק בנקודה שבה x=ax = a הוא הנגזרת בנקודה:

m=f′(a)m = f'(a)

ומשוואת המשיק:

y−f(a)=f′(a)(x−a)y - f(a) = f'(a)(x - a)

משיק מקביל לציר xx נמצא בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת.

חשוב לדעת

קיצון, עלייה וירידה

  1. גוזרים ומשווים לאפס.
  2. בונים טבלת סימנים, עם הנקודות שמחוץ לתחום ועם קצות התחום.
  3. מציבים ערך מכל קטע בנגזרת: פלוס עלייה, מינוס ירידה.
  4. מציבים את שיעור xx בפונקציה כדי לקבל את שיעור yy.

או בנגזרת שנייה: f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 מקסימום, f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 מינימום.

חשוב לדעת

דוגמה: קיצון בקצה התחום

f(x)=(x−3)xx≥0f′(x)=3x−32xf(x) = (x - 3)\sqrt{x} \qquad x \ge 0 \qquad f'(x) = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}
xx
קצה התחום, מקסימום
x=0x = 0
0<x<10 < x < 1
קיצון
x=1x = 1
x>1x > 1
מציבים0.250.2544
f′(x)f'(x)−0+
f(x)f(x)min · מינימום

בשורש יש לתחום קצה, וגם הוא יכול להיות נקודת קיצון: מימין לאפס הפונקציה יורדת, ולכן (0,0)(0, 0) היא נקודת מקסימום. בנקודה (1,−2)(1, -2) יש מינימום.

סעיפי חשיבה

חשוב לדעת

הזזות ושיקופים

  • f(x)+kf(x) + k זה הזזה למעלה, במרחק kk.
  • f(x−a)f(x - a) זה הזזה ימינה, במרחק aa.
  • −f(x)-f(x) זה שיקוף סביב ציר xx.

בהזזה למעלה הקיצון זז למעלה, ובהזזה ימינה כל השיעורים של xx זזים ימינה.

חשוב לדעת

זוגית ואי־זוגית

זוגית: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x). הגרף סימטרי לציר yy.

אי־זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). הגרף סימטרי לראשית הצירים.

חשוב לדעת

גרף הנגזרת

  • איפה שהנגזרת חיובית (מעל ציר xx) הפונקציה עולה, ואיפה שהיא שלילית הפונקציה יורדת.
  • איפה שגרף הנגזרת חותך את ציר xx ומחליף סימן, יש לפונקציה קיצון.

אינטגרל ושטח

חשוב לדעת

האינטגרלים

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1a⋅(n+1)+C\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a \cdot (n+1)} + C ∫1ax+b dx=2aax+b+C\int \frac{1}{\sqrt{ax + b}} \, dx = \frac{2}{a}\sqrt{ax + b} + C ∫u′⋅un dx=un+1n+1+C\int u' \cdot u^n \, dx = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C
חשוב לדעת

אינטגרל מסוים ושטח

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

שטח בין שני גרפים: העליון פחות התחתון, בין נקודות החיתוך.

כשנתונה נקודה על הגרף של הפונקציה הקדומה, מציבים אותה כדי למצוא את CC.

חשוב לדעת

דוגמה

השטח בין y=xy = x לבין y=x2y = x^2. נקודות החיתוך הן x=0x = 0 וגם x=1x = 1, ובקטע הזה y=xy = x הוא העליון:

S=∫01(x−x2)dx=12−13=16S = \int_0^1 \left(x - x^2\right) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

מלכודות שעולות נקודות

מלכודת

שיעור y של קיצון

מציבים את שיעור xx של הקיצון בפונקציה המקורית, לא בנגזרת. בנגזרת תמיד יוצא אפס.

מלכודת

קצה התחום

בפונקציית שורש שוכחים את קצה התחום. הוא נכנס לטבלת הסימנים, ובשרטוט הגרף מתחיל בו.

מלכודת

שטח מתחת לציר

אינטגרל של חלק שנמצא מתחת לציר xx יוצא שלילי. השטח הוא המספר החיובי, ולכן משרטטים קודם ומפצלים בנקודות החיתוך.

לפני הבגרות — בודקים שזוכרים

  • תחום: מכנה שונה מאפס, מתחת לשורש לא שלילי.

  • אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס והמונה לא.

  • משיק: השיפוע הוא f′(a)f'(a), והנקודה היא (a,f(a))(a, f(a)).

  • בטבלת הסימנים: נקודות מחוץ לתחום וקצות התחום.

  • שטח בין גרפים: העליון פחות התחתון, בין נקודות החיתוך.

הסיכום נכתב על ידי MathUp לפי תוכנית הלימודים. אם המורה שלך מבקש ניסוח או דרך אחרת — הוא הקובע.