בעיות קיצון

בנגזרת שנייה, בנקודה שבה $f'(x_0) = 0$:

• $f''(x_0) < 0$ זה מקסימום.
• $f''(x_0) > 0$ זה מינימום.

או בטבלת סימנים: מפלוס למינוס זה מקסימום, ממינוס לפלוס זה מינימום.

• שטח מלבן: $S = a \cdot b$, והיקף: $P = 2a + 2b$.
• נפח תיבה שבסיסה ריבוע: $V = x^2 \cdot h$.
• משפט פיתגורס, שטח משולש וטרפז.

הנתון המספרי (היקף, שטח או נפח נתונים) הוא שמקשר בין המשתנים.

נקודה על הגרף של הפונקציה היא $\left(x,\; f(x)\right)$: שיעור $y$ שלה הוא הגובה $f(x)$.

• אורך קטע אנכי בין שני גרפים: העליון פחות התחתון.
• מרחק בין שתי נקודות: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

מגיליון ריבועי שצלעו $12$ גוזרים ריבוע שצלעו $x$ בכל פינה, ומקפלים לקופסה פתוחה. מה הנפח הגדול ביותר?

$$V(x) = x(12 - 2x)^2$$ $$V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x) = 0$$

הערך $x = 6$ נפסל, כי אז צלע הבסיס היא אפס. נשאר $x = 2$: משמאל לו הנגזרת חיובית ומימין שלילית, ולכן מקסימום.

$$V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$$

מלבן שצלע אחת שלו על ציר $x$ ושני קודקודים על הגרף $y = 12 - x^2$. הקודקוד הימני העליון הוא $\left(x,\; 12 - x^2\right)$ עם $x > 0$:

$$S(x) = 2x\left(12 - x^2\right) = 24x - 2x^3$$ $$S'(x) = 24 - 6x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2$$

הערך $x = -2$ נפסל, כי $x$ הוא חצי מרוחב המלבן. מתקיים $S''(2) = -24 < 0$, ולכן מקסימום: $S(2) = 32$.